İçine, Örten, Birebir ve Eşit Fonksiyonlar
İçine, Örten, Birebir ve Eşit Fonksiyonlar
BİREBİR (injektif) fonksiyonda, tanım kümesindeki FARKLI elemanların görüntüleri de FARKLIDIR (x₁≠x₂ ise f(x₁)≠f(x₂)); grafikte YATAY DOĞRU TESTİ ile kontrol edilir. ÖRTEN (sürjektif) fonksiyonda, değer kümesindeki HER eleman, tanım kümesinden EN AZ BİR elemanın görüntüsüdür (görüntü kümesi = değer kümesi). İÇİNE fonksiyon, örten OLMAYAN fonksiyondur (değer kümesinde görüntüsü olmayan eleman VARDIR). İki fonksiyon f=g EŞİTTİR denebilmesi için tanım kümeleri AYNI olmalı VE her x için f(x)=g(x) olmalıdır.
Gerçek Sınav Sorusu
Aşağıda ilgili gerçek bir sınav sorusu ve çözümü yer almaktadır.
f: R→R, g: R→R fonksiyonları f(x) = x²+1, g(x) = x biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre
I. f bire bir fonksiyondur.
II. f+g içine fonksiyondur.
III. f·g örten fonksiyondur.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III
- I. f(x)=x²+1 bir parabol olduğundan bire bir DEĞİLDİR (örneğin f(−1)=f(1)=2), I yanlıştır. II. (f+g)(x)=x²+x+1 de bir parabol olup en küçük değeri (tepe noktasında) 1−1/4=3/4'tür; görüntü kümesi [3/4, ∞) olup R'nin tamamı olmadığından f+g İÇİNE fonksiyondur, II doğrudur. III. (f·g)(x)=x³+x fonksiyonunun türevi 3x²+1 her x için pozitif olduğundan bu fonksiyon R üzerinde sürekli artandır ve görüntü kümesi tüm R'dir, yani ÖRTENDİR, III doğrudur. Doğru olanlar II ve III'tür, cevap E'dir.