İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Kök Katsayı İlişkisi
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Kök Katsayı İlişkisi
ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise, kökler TOPLAMI x₁+x₂ = -b/a ve kökler ÇARPIMI x₁·x₂ = c/a formülleriyle, denklemi ÇÖZMEDEN doğrudan bulunabilir (Vieta bağıntıları). Bu ilişkiler, "kökler toplamı/çarpımı cinsinden bir ifadenin değerini bulma" (örneğin x₁²+x₂² gibi ifadeler x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ biçiminde kökler toplamı ve çarpımı cinsinden YENİDEN yazılarak) sorularında köklerin kendisini bulmaya gerek KALMADAN çözüm sağlar.
Gerçek Sınav Sorusu
Aşağıda ilgili gerçek bir sınav sorusu ve çözümü yer almaktadır.
ax²+a²x+b=0 şeklinde verilen 2. dereceden denklemin kökleri x₁ ve x₂ olsun. x₁+x₂=−2 ve x₁·x₂=6 olduğuna göre kökleri (a+3) ve (b−5) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x²−10x+11=0 B) x²+2x−35=0 C) x²+12x+35=0 D) x²−2x−35=0 E) x²−12x+35=0
- Kök toplamı ve çarpımı formülleriyle x₁+x₂ = −a²/a = −a = −2 olduğundan a=2; x₁·x₂ = b/a = 6 olduğundan b = 6a = 12 bulunur. Yeni denklemin kökleri a+3 = 2+3 = 5 ve b−5 = 12−5 = 7'dir. Bu köklerin toplamı 5+7=12, çarpımı 5·7=35 olduğundan aranan denklem x² − 12x + 35 = 0'dır, cevap E'dir.