Bir Fonksiyonun Ekstremum Noktaları
Anlatım
Bir Fonksiyonun Ekstremum Noktaları
Ekstremum noktalar (yerel maksimum ve minimum), fonksiyonun türevinin SIFIR olduğu veya TANIMSIZ olduğu noktalarda ARANIR; bu noktalarda türevin İŞARET DEĞİŞİMİ (artıdan eksiye -maksimum-, eksiden artıya -minimum-) İNCELENEREK KARAR verilir.
Çözümlü örnek
Gerçek Sınav Sorusu
Gerçek sayılar kümesi üzerinde f(x) = ax3 + bx – 2 biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için A(–1, 2) bir yerel maksimum noktasıdır. Buna göre, f fonksiyonuyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) (–∞, −2) aralığında türevi negatiftir.
B) a = 2 ve b = –6 tür.
C) (1, ∞) aralığında artandır.
D) (–1, 1) aralığında azalandır.
E) x = 1 de yerel minimumu vardır.
- A(−1,2) yerel maksimum olduğundan f(−1)=−a−b−2=2 → a+b=−4 ve f'(−1)=3a+b=0 → b=−3a sağlanmalıdır. Bu iki denklemden a=2, b=−6 bulunur (B doğru). f'(x)=6x²−6=6(x−1)(x+1) olduğundan f' işareti (−∞,−1) ve (1,∞)'da POZİTİF, (−1,1)'de NEGATİFTİR; yani f (−∞,−1)'de ARTAN, (−1,1)'de azalan (D doğru), (1,∞)'da artan (C doğru), x=1'de yerel minimum vardır (E doğru). Ancak (−∞,−2) aralığında (bu, (−∞,−1)'in bir alt aralığı) türev NEGATİF değil POZİTİFTİR; bu nedenle A ifadesi yanlıştır, cevap A'dır.