Eşlik ve Benzerlik
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu iki şeyin üzerine kuruluyor: oran-orantı ve üçgende açı bilgisi.
Oran-orantı: a/b = c/d biçiminde bir eşitlik gördüğünde, bilinmeyeni bulmak için içler dışlar çarpımını kullanırsın (a·d = b·c). Bu konuda "benzerlik oranı" dediğimiz şey de aslında bir orandır, o yüzden orantı kurmakta rahat olmalısın.
Üçgen bilgisi: bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir. Üç açıyı bilmiyorsan bile ikisini biliyorsan üçüncüyü çıkarabilirsin.
Burada takılırsan sorun genelde konunun kendisinde değil, bu ikisinde olur.
Eş şekil mi, benzer şekil mi
İki çokgen eştir demek için ikisinin de hem karşılık gelen açıları hem de karşılık gelen kenar uzunlukları birebir eşit olmalı. Eş şekiller, biri diğerinin üzerine tam oturan iki fotokopi gibidir; büyüklük de aynıdır.
İki çokgen benzerdir demek için ise karşılık gelen açıların eşit olması yeterlidir; kenarların eşit olmasına gerek yoktur, ama kenarlar birbirine ORANTILI olmalıdır. Benzer şekiller, biri diğerinin küçültülmüş ya da büyütülmüş hâli gibidir — şekil aynı, boyut farklı olabilir.
Buradan önemli bir sonuç çıkar: eş olan iki çokgen aynı zamanda benzerdir de (kenar oranı 1'dir çünkü). Ama benzer olan iki çokgenin eş olması gerekmez. Yani "eş" kümesi "benzer" kümesinin içinde, daha dar bir kümedir.
M.8.3.3.1
Bu iki dörtgen eş mi
ABCD dörtgeni ile PQRS dörtgeninde karşılık gelen açılar birebir eşittir. Kenar uzunlukları ise şöyledir: |AB| = 5 cm, |BC| = 7 cm, |CD| = 6 cm, |DA| = 8 cm; |PQ| = 5 cm, |QR| = 7 cm, |RS| = 6 cm, |SP| = 8 cm. Bu iki dörtgen eş midir?
- Açılar zaten eşit verilmiş, geriye kenarları karşılaştırmak kalıyor.
- Karşılık gelen kenarların oranlarına bak: AB/PQ = 5/5 = 1, BC/QR = 7/7 = 1, CD/RS = 6/6 = 1, DA/SP = 8/8 = 1.
- Bütün oranlar 1 çıktı, yani kenarlar birebir eşit.
- Açılar eşit + kenarlar eşit olduğundan ABCD ile PQRS eştir (aynı zamanda benzerdirler de, çünkü oran 1 de olsa bir orandır).
M.8.3.3.1
Bu iki üçgen benzer mi
ABC üçgeni ile DEF üçgeninde karşılık gelen açılar birebir eşittir (A~D, B~E, C~F). Kenar uzunlukları: |AB| = 6 cm, |BC| = 9 cm, |CA| = 12 cm; |DE| = 8 cm, |EF| = 12 cm, |FD| = 16 cm. Bu iki üçgen benzer midir? Öyleyse benzerlik oranı (ABC'den DEF'e) kaçtır?
- Karşılık gelen kenarların oranlarına bak: AB/DE = 6/8 = 3/4, BC/EF = 9/12 = 3/4, CA/FD = 12/16 = 3/4.
- Üç oran da birbirine eşit çıktı (3/4), yani kenarlar orantılı.
- Açılar zaten eşit verilmişti. Açılar eşit + kenarlar orantılı olduğundan ABC ~ DEF, yani üçgenler benzerdir.
- Benzerlik oranı k = 3/4'tür (ABC'nin kenarları, DEF'in kenarlarının 3/4'ü kadardır). Dikkat: kenarlar eşit olmadığı için (6 ≠ 8) bu üçgenler eş DEĞİLDİR, sadece benzerdir.
M.8.3.3.1
Açılar eşitse şekil de eştir sanmak
Çok sık yapılan bir hata: iki şeklin açılarının eşit olduğunu görünce hemen "eş" demek. Hâlbuki açıların eşit olması sadece benzerliği garanti eder, eşliği değil.
Bir önceki örnekteki ABC ve DEF üçgenlerini hatırla: açıları birebir eşitti ama kenarları eşit değildi (6 cm ile 8 cm gibi). Bu üçgenler benzerdir, ama eş değildir.
Eş demek için hem açıların hem de kenarların birebir eşit olması gerekir — sadece biri yetmez. Sınavda "açıları eşit olduğuna göre bu şekiller eştir" gibi bir öncül görürsen dikkatli ol, bu ifade YANLIŞTIR; doğrusu "açıları eşit olduğuna göre bu şekiller benzerdir" olurdu.
M.8.3.3.1
Benzer üçgende açı bulma
ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir (ABC ~ DEF, A~D, B~E, C~F karşılıklığıyla). ABC üçgeninde açı A = 50°, açı B = 70°'dir. Buna göre DEF üçgeninde açı D, açı E ve açı F kaç derecedir?
- Benzer çokgenlerde karşılık gelen açılar birebir eşittir; bu, kenar uzunluklarından tamamen bağımsızdır.
- A~D olduğundan açı D = açı A = 50°.
- B~E olduğundan açı E = açı B = 70°.
- Açı F'yi üçgenin iç açılar toplamından bul: F = 180° − 50° − 70° = 60°.
M.8.3.3.1
Benzerlik oranını doğru kurmak
Benzerlik oranı, benzer iki çokgende karşılık gelen kenarların birbirine oranıdır. Ama bu oranı yazarken YÖN önemlidir: "kimden kime" gittiğini belirtmen gerekir.
ABC ~ DEF ve k, ABC'nin DEF'e oranıysa (yani k = AB/DE = BC/EF = CA/FD), bu ABC'nin kenarlarının DEF'in kenarlarının k katı olduğu anlamına gelir: AB = k · DE.
Bir kenarı bulmak istediğinde önce hangi şekilden hangi şekle gittiğini belirle, sonra orantıyı o yönde kur. Karşılık gelen kenarları eşleştirirken köşe sırasına dikkat et: ABC ~ DEF yazımında A↔D, B↔E, C↔F demektir; kenarlar da buna göre eşleşir (AB↔DE, BC↔EF, CA↔FD).
M.8.3.3.2
Orandan kenar bulma
ABC ~ DEF ve benzerlik oranı (ABC'den DEF'e) k = 2/3'tür. |DE| = 15 cm olduğuna göre |AB| kaç cm'dir?
- k, ABC'nin DEF'e oranı olduğundan AB = k · DE yazılır.
- AB = (2/3) · 15 = 10.
- |AB| = 10 cm.
M.8.3.3.2
Oranı ters kurmak
Bir önceki örnekte doğru cevap AB = 10 cm'dir. Ama çok sık görülen hata, oranı ters çevirip AB = DE / k işlemini yapmak: 15 / (2/3) = 22,5 gibi yanlış bir sonuca ulaşmak.
Bu hata, "k neyin oranı" sorusunu atlayınca ortaya çıkar. k = ABC'nin DEF'e oranıysa, k KÜÇÜK sayıyı BÜYÜK sayıya bölerek elde edilmiş demektir (burada 2/3 < 1, yani ABC, DEF'ten küçük). O zaman ABC'nin kenarı da DEF'inkinden küçük çıkmalı: AB = k·DE = 10 < 15 = DE. Mantıklı.
22,5 çıkan yanlış çözümde ise AB, DE'den BÜYÜK çıkıyor — bu, k < 1 olduğu hâlde "küçük şeklin kenarı büyük çıktı" demektir, çelişkidir. Sonucun büyüklük yönünü k ile karşılaştırarak kontrol etmeyi alışkanlık hâline getir.
M.8.3.3.2
Büyükten küçüğe kenar bulma
PQR ~ XYZ ve benzerlik oranı (PQR'den XYZ'ye) k = 5/2'dir. |XY| = 8 cm olduğuna göre |PQ| kaç cm'dir?
- k, PQR'nin XYZ'ye oranı olduğundan PQ = k · XY yazılır.
- PQ = (5/2) · 8 = 20.
- |PQ| = 20 cm.
- Kontrol: k = 5/2 > 1 olduğundan PQR, XYZ'den büyük olmalı; gerçekten 20 > 8, tutarlı.
M.8.3.3.2
Alan oranı, benzerlik oranının karesidir
Benzer iki çokgenin kenarları arasındaki oran k ise, alanları arasındaki oran k DEĞİL, k²'dir.
Bunun sebezini sezgisel görebilirsin: bir dikdörtgenin hem eni hem boyu k katına çıkarsa (kareli kâğıtta bir kareyi 2 katına büyüttüğünü düşün), alan en·boy olduğundan k·k = k² katına çıkar.
Bu kural bütün benzer çokgenler için geçerlidir, sadece dikdörtgen için değil. Kısaca: kenar oranı k → çevre oranı da k (çevre kenarların toplamıdır) → alan oranı k².
M.8.3.3.2
Alan oranı hesabı
ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir, benzerlik oranı (ABC'den DEF'e) k = 3/5'tir. DEF üçgeninin alanı 75 cm² olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
- Alan oranı, kenar oranının karesidir: alan oranı = k² = (3/5)² = 9/25.
- ABC'nin alanı = (9/25) · DEF'in alanı = (9/25) · 75 = 27.
- ABC üçgeninin alanı 27 cm²'dir.
M.8.3.3.2
Alan oranını doğrudan k sanmak
Bir önceki örnekte doğru cevap 27 cm²'dir. En sık yapılan hata, alan oranını k² yerine k almak: alan_ABC = k · 75 = (3/5) · 75 = 45 cm² diye yanlış hesaplamak.
Bu hata özellikle "kenar oranı 3/5 ise alan da 3/5 katıdır" gibi düşünüldüğünde ortaya çıkar. Ama alan iki boyutlu bir büyüklüktür, kenar tek boyutludur — o yüzden oran karesiyle taşınır.
Bir de tersi hata var: alan oranı verilip kenar oranı sorulduğunda, öğrenciler bazen alan oranının karekökünü almayı unutup alan oranını doğrudan kenar oranı sanıyor. Kural her iki yönde de geçerli: kenar oranından alana geçerken kareye yükselt, alandan kenara geçerken karekök al.
M.8.3.3.2
Aklında kalsın
Eş: açılar VE kenarlar birebir eşit. Benzer: açılar eşit, kenarlar orantılı. Her eş çokgen benzerdir ama her benzer çokgen eş değildir.
Benzerlik oranı k'yi kurarken yönü belirt: k = (kaynak şeklin kenarı) / (hedef şeklin kenarı). Bulduğun kenarın büyüklüğünü k ile karşılaştırarak kontrol et — k < 1 ise kaynak küçülmeli, k > 1 ise büyümeli.
Çevre oranı = k. Alan oranı = k² (asla k'nin kendisi değil). Alan oranından kenar oranına dönerken karekök al.