Üslü İfadeler

Üs ne demek, taban negatif olunca ne olur

aⁿ ifadesinde a tabandır, n üstür (kuvvettir). Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını söyler: 3⁴ = 3·3·3·3 = 81.

Taban negatif bir tam sayı olduğunda işaret üsse bağlı olarak değişir. Negatifi kendisiyle çift sayıda çarparsan işaretler birbirini götürür ve sonuç pozitif olur. Tek sayıda çarparsan bir negatif işaret artakalır ve sonuç negatif kalır.

Kısaca: taban negatifse, üs çift olduğunda sonuç pozitif, üs tek olduğunda sonuç negatiftir. Taban pozitifse üssün tek ya da çift olması sonucun işaretini değiştirmez, sonuç hep pozitiftir.

M.8.1.2.1

Sıfırıncı kuvvet ve negatif kuvvet

2'nin kuvvetlerini küçülen sırayla yaz: 2³=8, 2²=4, 2¹=2. Her adımda üs bir azalırken sonuç 2'ye bölünüyor. Bu düzeni sürdürürsen 2⁰ = 2÷2 = 1, sonra 2⁻¹ = 1÷2 = 1/2 çıkar.

Buradan iki kural gelir. Birincisi: a sıfırdan farklı bir sayı olmak üzere a⁰ = 1. (0⁰ tanımsızdır, bu yüzden a≠0 şartı önemlidir.)

İkincisi: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Yani negatif üs, tabanı kesrin paydasına taşır ve üssün işaretini pozitife çevirir. -3 sayısı değil, sadece 1/aⁿ'nin işareti değişir demek — sayının kendisi negatif olmaz.

M.8.1.2.2

Çarpma, bölme, üssün üssü ve dağılma kuralları

Taban aynıyken çarpma yaparsan üsleri toplarsın: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Neden? Çünkü a'yı n defa, sonra bir daha m defa çarpmış olursun; toplamda n+m defa çarparsın.

Taban aynıyken bölme yaparsan üsleri çıkarırsın: aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ. Bölme, aynı çarpanları sadeleştirmek demektir.

Bir kuvvetin tekrar kuvvetini alırsan üsleri çarparsın: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ. Çünkü aⁿ'yi m kere kendisiyle çarpmış olursun.

Son olarak çarpım ve bölümün kuvveti, her iki çarpana ayrı ayrı dağıtılır: (a·b)ᵏ = aᵏ·bᵏ ve (a/b)ᵏ = aᵏ/bᵏ (b≠0).

M.8.1.2.2

Ondalık sayıyı 10'un kuvvetleriyle çözümlemek

Bir sayıdaki her basamağın bir "basamak değeri" vardır ve bu değer 10'un bir kuvvetidir. Virgülün solundaki basamaklar 10⁰, 10¹, 10²... ile, sağındaki basamaklar 10⁻¹, 10⁻²... ile eşleşir.

Örneğin 82,53 sayısını çözümleyelim: 8 onlar basamağında (10¹), 2 birler basamağında (10⁰), 5 onda birler basamağında (10⁻¹), 3 yüzde birler basamağında (10⁻²).

Buna göre: 82,53 = 8·10¹ + 2·10⁰ + 5·10⁻¹ + 3·10⁻². Bu çözümleme sayının hangi basamağının ne kadar "ağırlıkta" olduğunu net gösterir.

M.8.1.2.3

Aynı sayıyı 10'un farklı kuvvetleriyle yazmak

a×10ⁿ biçimindeki bir sayıyı, değerini değiştirmeden farklı bir üsle de yazabilirsin. Önemli olan üs değiştiğinde a'nın da tersi yönde değişmesi — çünkü sayının kendisi aynı kalmalı.

Üssü bir artırırsan, a'yı 10'a bölmen gerekir. Üssü bir azaltırsan, a'yı 10 ile çarpman gerekir. İkisi birbirini dengeler.

Örneğin 51,2×10⁵ sayısını ele alalım. Üssü 4'e düşürürsek a'yı 10 ile çarparız: 512×10⁴. Üssü 6'ya çıkarırsak a'yı 10'a böleriz: 5,12×10⁶. Üçü de aynı sayıyı gösterir.

M.8.1.2.4

Bilimsel gösterim nedir

Çok büyük ya da çok küçük sayıları basamak basamak yazmak yerine kısa bir kalıpla gösterebiliriz: a×10ⁿ. Burada n bir tam sayıdır ve a, 1 ile 10 arasında olmalıdır — yani 1 ≤ a < 10 (a ondalıklı olabilir, örneğin 4,5).

Bu kurala "bilimsel gösterim" denir ve a'nın bu aralıkta seçilmesi zorunludur, aksi hâlde gösterim tek türlü olmaz. (Bu düzeyde a'nın pozitif olduğu durumlarla sınırlı kalıyoruz.)

Çok büyük bir sayıda n pozitif ve büyük çıkar, çok küçük bir sayıda (1'den küçük) n negatif çıkar. n'nin büyüklüğü, sayının ne kadar büyük ya da küçük olduğunu hızlıca gösterir — iki sayıyı karşılaştırırken önce n'lere bakman yeterli olur.

M.8.1.2.5