Üçgenler
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu için iki şeye ihtiyacın var.
Birincisi açı türleri: 90°'den küçük açı dar açı, tam 90° olan açı dik açı, 90°'den büyük açı geniş açıdır. Üçgenler bu açılara göre de sınıflandırılır — bir dik üçgende açılardan biri tam 90°'dir.
İkincisi kareköklü ifadeler: bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren sayıdır. √36 = 6 çünkü 6 · 6 = 36. Ama her sayı tam kare değildir; √13 gibi ifadeler basitleşmez, öylece bırakılır. Pisagor bağıntısında hipotenüs uzunluğu çoğu zaman böyle kareköklü bir sayı çıkar.
Bu ikisinde emin değilsen önce onlara dön.
Üçgenin üç özel doğrusu: kenarortay, açıortay, yükseklik
Bir üçgende her köşeden karşı kenara çizilebilecek üç farklı özel doğru parçası vardır.
Kenarortay: bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Örneğin A köşesinden çizilen kenarortay, BC kenarının tam ortasındaki noktaya gider.
Açıortay: bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasıdır. A köşesindeki açı 80° ise açıortay bu açıyı 40°+40° olarak ikiye böler.
Yükseklik: bir köşeden karşı kenara (ya da onun uzantısına) çizilen ve o kenara dik olan doğru parçasıdır. Yükseklik ile karşı kenar arasındaki açı her zaman 90°'dir.
Üç doğru da aynı köşeden başlar ama genel bir üçgende üçü de FARKLI noktalarda karşı kenarı keser.
M.8.3.1.1
Özel üçgenlerde bu üç doğru çakışabilir
Genel bir üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik birbirinden farklı doğru parçalarıdır. Ama üçgen özel bir türdeyse bazıları üst üste biner ya da basitleşir.
İkizkenar üçgende, eşit kenarların arasındaki köşeden (tepe açısından) çizilen kenarortay, açıortay ve yükseklik AYNI doğru parçasıdır. Neden? Çünkü bu köşeden geçen bir simetri ekseni vardır; üçgenin iki yarısı birbirinin aynasıdır.
Eşkenar üçgende bu çakışma üç köşenin hepsinde birden görülür, çünkü eşkenar üçgen aynı zamanda her açıdan ikizkenardır.
Dik üçgende farklı bir kolaylık var: dik açıyı oluşturan iki kenarın her biri, diğerine ait yüksekliktir. Yani dik kenarlardan biri hem kenar hem de karşı köşeden inen yüksekliktir — ayrıca çizmene gerek kalmaz.
M.8.3.1.1
Eşkenar üçgende çakışmayı göster
Kenar uzunluğu 6 cm olan ABC eşkenar üçgeninde B = (0, 0), C = (6, 0) ve A = (3, 3√3) noktalarında olsun (bu koordinatlar AB = BC = CA = 6 olacak şekilde seçilmiştir). A köşesinden çizilen kenarortay, BC kenarının orta noktası M'ye gider. M'nin koordinatlarını bul; AM doğru parçasının BC'ye dik olduğunu, ayrıca AB ile CA'nın eşit uzunlukta olduğunu (bu yüzden AM'nin aynı zamanda açıortay olduğunu) göster.
- M, BC'nin orta noktası: M = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3, 0).
- AM vektörü: A'dan M'ye (3-3, 0-3√3) = (0, -3√3), yani dikey bir doğru.
- BC vektörü: (6-0, 0-0) = (6, 0), yani yatay bir doğru.
- Dikey ile yatay birbirine diktir; AM ⊥ BC olduğundan AM aynı zamanda yüksekliktir.
- AB = √((3-0)²+(3√3-0)²) = √36 = 6 ve CA = √((3-6)²+(3√3-0)²) = √36 = 6, yani AB = CA.
- Üçgen bu köşede ikizkenar olduğundan simetriden BAM açısı ile CAM açısı da eşit çıkar; AM aynı zamanda açıortaydır.
- Sonuç: kenarortay = yükseklik = açıortay, hepsi AM doğru parçasıdır.
M.8.3.1.1
Kenarortay ile açıortayı karıştırma
En sık yapılan hata, genel (özel olmayan) bir üçgende kenarortay ile açıortayın aynı doğru parçası olduğunu sanmaktır. Bu SADECE ikizkenar veya eşkenar üçgende, üstelik sadece eşit kenarların arasındaki köşeden çizildiğinde doğrudur.
Örneğin kenarları 5 cm, 7 cm, 9 cm olan bir üçgende (üç kenar da farklı, yani çeşitkenar), A köşesinden çizilen kenarortay BC'nin tam ortasına gider, ama açıortay genelde BC'yi ortadan FARKLI bir noktada keser. İkisini aynı doğru parçası sanıp tek çizim yapmak, sınavda yanlış sonuca götürür.
Kontrol yolu: üçgen ikizkenar mı, çakışma aranan köşe eşit kenarların arasındaki köşe mi — önce bunu sor.
M.8.3.1.1
Üçgen eşitsizliği: üç kenar her zaman üçgen oluşturmaz
Üç tane kenar uzunluğu verildiğinde bunlar her zaman bir üçgen oluşturmaz. Üçgen oluşabilmesi için şu kural sağlanmalı: iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenardan BÜYÜK olmalıdır — bu, üç kenar ikilisi için de ayrı ayrı kontrol edilir.
a, b, c kenarları için: a + b > c, a + c > b, b + c > a aynı anda sağlanmalıdır.
Bir kestirme yol var: kenarları küçükten büyüğe sırala, sadece en küçük ikisinin toplamının en büyük kenardan büyük olup olmadığına bak. Bu TEK kontrol yeterlidir, çünkü diğer iki koşul otomatik olarak sağlanır.
M.8.3.1.2
Üçüncü kenarın alabileceği değerler
Bir üçgende AB = 5 cm ve BC = 9 cm olarak veriliyor. AC kenarının uzunluğu tam sayı (cm) olduğuna göre, AC en az ve en çok kaç cm olabilir?
- Üçgen eşitsizliğinden: |AB - BC| < AC < AB + BC
- |5 - 9| < AC < 5 + 9
- 4 < AC < 14
- AC tam sayı olduğundan alabileceği en küçük değer 5, en büyük değer 13'tür (4 ve 14 sınır değerlerinin kendisi olamaz, çünkü eşitsizlikler kesin/sıkı eşitsizliktir).
M.8.3.1.2
Sadece bir koşulu kontrol etmek
Üç kenarın üçgen oluşturup oluşturmadığını sorarken öğrenciler genelde tek bir toplamı kontrol edip duruyor, diğer ikisini atlıyor.
Örneğin kenarlar 3 cm, 4 cm, 9 cm olsun. 4 + 9 = 13, 3'ten büyük; 3 + 9 = 12, 4'ten büyük — ikisi de sağlanıyor gibi görünüyor, 'üçgen olur' denip geçilebiliyor. Ama üçüncü koşulu kontrol etmeden karar vermek hatalı: 3 + 4 = 7, ve 7, 9'dan KÜÇÜK. Bu üçlü bir üçgen OLUŞTURMAZ.
Güvenli yöntem: kenarları küçükten büyüğe sırala (3, 4, 9), sadece en küçük ikisinin toplamını en büyükle karşılaştır (3+4 = 7, 9'dan küçük mü büyük mü). Bu tek kontrol, üç koşulun hepsinin sonucunu verir.
M.8.3.1.2
Büyük kenarın karşısında büyük açı
Bir üçgende her kenarın tam karşısında bir köşe (ve o köşedeki açı) vardır. Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların büyüklükleri birbirine bağlıdır:
En uzun kenarın karşısında en büyük açı bulunur. En kısa kenarın karşısında en küçük açı bulunur. Eşit uzunluktaki kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir (ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olmasının sebebi budur).
Bu ilişki iki yönde de çalışır: kenar sıralamasından açı sıralamasına geçebilirsin, açı sıralamasından da kenar sıralamasına.
M.8.3.1.3
Kenarlardan açı sıralaması
Bir ABC üçgeninde AB = 7 cm, BC = 9 cm, CA = 5 cm olarak veriliyor. A, B, C köşelerindeki açıları büyükten küçüğe sıralayınız.
- Her açının karşısındaki kenarı belirle: A açısının karşısında BC (9 cm), B açısının karşısında CA (5 cm), C açısının karşısında AB (7 cm) vardır.
- Kenarları büyükten küçüğe sırala: BC(9) > AB(7) > CA(5).
- Aynı sıralama açılar için de geçerlidir: A açısı > C açısı > B açısı.
M.8.3.1.3
İlişkiyi ters kurmak
Kenar-açı ilişkisini ezbere kullanırken yön karıştırılıyor: 'en büyük açının karşısında en küçük kenar var' gibi ters bir cümle kurulabiliyor. Doğrusu tam tersi: en büyük açı ile en uzun kenar HER ZAMAN aynı köşe-kenar çiftinde buluşur.
Bir diğer hata: 'en büyük kenar' ile 'köşedeki açı' eşleştirmesini kenarın kendi uçlarındaki köşelerle yapmak. Kenarın karşısındaki köşe, o kenarı OLUŞTURMAYAN tek köşedir — AB kenarının karşısı C köşesidir, A ya da B değil. Bu eşleştirmeyi yanlış yapan öğrenci doğru sıralamayı bulsa bile cevabı yanlış köşeye yazar.
M.8.3.1.3
Bir üçgeni çizmek için hangi veriler yeterli
Bir üçgeni tek (ve tam olarak aynı boy-şekilde) çizebilmek için rastgele üç ölçü yetmez, belirli kombinasyonlar gerekir:
1) Üç kenarın uzunluğu (KKK): üç kenar biliniyorsa üçgen tek bir şekilde çizilir — ama önce üçgen eşitsizliğinin sağlanması gerekir.
2) Bir kenar ile bu kenarın iki ucundaki açılar (AKA): bir kenarın uzunluğu ve o kenarın iki ucundaki açılar biliniyorsa üçgen tektir.
3) İki kenar ile aralarındaki açı (KAK): iki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın ARASINDAKİ açı biliniyorsa üçgen tektir. Açı, kenarların arasında olmalı — uçta olan bir açı aynı garantiyi vermez.
Bu üç kombinasyondan biri eksikse (örneğin sadece üç açı verilmişse), üçgenin şekli belirlenir ama BÜYÜKLÜĞÜ belirlenmez — sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir.
M.8.3.1.4
Verilen ölçülerle üçgen çizilebilir mi
Kenar uzunlukları 4 cm, 5 cm, 10 cm olarak verilen bir üçgen çizilmek isteniyor. Bu üç ölçü ile tek bir üçgen çizilebilir mi?
- Üç kenar veriliyor, bu KKK durumu — ama önce üçgen eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakılmalı.
- En küçük iki kenarın toplamı: 4 + 5 = 9.
- En büyük kenar: 10.
- 9, 10'dan KÜÇÜK olduğu için üçgen eşitsizliği sağlanmıyor.
- Sonuç: bu üç uzunlukla üçgen ÇİZİLEMEZ.
M.8.3.1.4
Pisagor bağıntısı
Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar, dik açının karşısındaki (üçgenin en uzun kenarı olan) kenara hipotenüs denir.
Pisagor bağıntısı şunu söyler: dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
a ve b dik kenarlar, c hipotenüs olmak üzere: a² + b² = c²
Bu bağıntı SADECE dik üçgenlerde geçerlidir. Hangi kenarın hipotenüs olduğunu bulmak için dik açıyı bul — hipotenüs her zaman dik açının TAM KARŞISINDAKİ kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır.
M.8.3.1.5
Hipotenüsü bulma
ABC üçgeninde A açısı 90°'dir. AB = 6 cm, AC = 8 cm olarak veriliyor. BC kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
- A açısı 90° olduğundan dik açı A'dadır; dik kenarlar AB ve AC, hipotenüs ise dik açının karşısındaki BC'dir.
- Pisagor bağıntısı: BC² = AB² + AC²
- BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- BC = √100 = 10
- BC kenarı 10 cm'dir.
M.8.3.1.5
Hipotenüsü yanlış kenar seçmek
Pisagor'da en sık yapılan hata, hangi kenarın hipotenüs olduğunu dik açıya bakmadan, sadece verilen sayılara bakarak tahmin etmektir. Genelde 'en uzun görünen kenar hipotenüstür' diye düşünülür, ama hangi kenarın en uzun olduğunu BİLMİYORSAN bunu varsayamazsın — hipotenüsü belirleyen şey uzunluk değil, dik açının karşısında olmasıdır.
Örneğin bir üçgende B açısı 90°, AB = 9 cm, BC = 12 cm veriliyor ve AC isteniyor. Dik açı B'de olduğu için hipotenüs, B'nin karşısındaki AC'dir — yani AC bilinmiyor, hesaplanacak olan odur. Bir öğrenci yanlışlıkla AC'yi dik kenar sanıp BC'yi hipotenüs kabul ederse (AB² + AC² = BC² yazarsa), 12² - 9² = 144 - 81 = 63 çıkar; bu da yanlış bir AC değeridir.
Doğrusu: AC² = AB² + BC² = 81 + 144 = 225, AC = 15 cm. Kontrol: dik açı hangi köşedeyse, hipotenüs HER ZAMAN o köşenin karşısındaki kenardır, başka hiçbir şey değil.
M.8.3.1.5
Kenarları verilen üçgen dik üçgen mi
Kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor bağıntısını kullanarak belirleyiniz.
- En uzun kenar hipotenüs ADAYIdır: 15 cm.
- Diğer iki kenarın kareleri toplamını hesapla: 9² + 12² = 81 + 144 = 225
- En uzun kenarın karesini hesapla: 15² = 225
- İki sonuç eşit çıktığı için (225 = 225), bu üçgen bir DİK üçgendir; dik açı 15 cm'lik kenarın karşısındaki köşededir.
M.8.3.1.5
Aklında kalsın
Kenarortay: köşeden karşı kenarın ortasına. Açıortay: köşedeki açıyı ikiye böler. Yükseklik: köşeden karşı kenara dik iner. İkizkenar/eşkenar üçgende bunlar çakışabilir.
Üçgen eşitsizliği: en küçük iki kenarın toplamı en büyük kenardan büyük olmalı.
Kenar-açı ilişkisi: en uzun kenarın karşısında en büyük açı vardır.
Üçgeni tek biçimde çizmek için: üç kenar (KKK), bir kenar + iki uç açı (AKA), ya da iki kenar + aralarındaki açı (KAK) yeterlidir.
Pisagor: dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir (a² + b² = c²). Hipotenüsü belirleyen, dik açının karşısında olmasıdır — uzunluk değil.