Kareköklü İfadeler
Bunları biliyor olman gerekiyor
Kareköklü ifadeler konusu, bir sayının karesini alma işleminin üzerine kurulu. O yüzden önce üslü ifadeleri hatırlaman gerekiyor: bir sayının karesi, o sayının kendisiyle bir kez daha çarpılmasıdır. 7² = 7 · 7 = 49 gibi.
Bir de tam kare sayı kavramını bilmelisin: bir doğal sayının karesi olan sayılara tam kare denir. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 ilk on beş tam kare sayıdır. Bunları ezbere bilmek bu konuda çok zaman kazandırır.
Ayrıca asal çarpanlara ayırmayı da hatırında tut; kareköklü bir sayıyı sadeleştirirken en çok bu işleme başvuracaksın.
Karekök nedir
Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren, negatif olmayan sayıdır. 6² = 36 olduğundan 36'nın karekökü 6'dır; bunu √36 = 6 diye yazarız.
Bunu bir kare modeliyle düşünebilirsin: alanı 36 birim kare olan bir karenin bir kenar uzunluğu 6 birimdir, çünkü kenar × kenar = alan. Karekök almak, alanı bilip kenarı bulmaktır — karesini almanın tersidir.
Bir sayı, bir doğal sayının karesiyse ona tam kare denir ve karekökü de bir doğal sayı çıkar. 49 tam karedir çünkü 7² = 49; bu yüzden √49 = 7'dir.
M.8.1.3.1
Kare şeklindeki halı
Alanı 225 metrekare olan kare şeklindeki bir halının bir kenar uzunluğu kaç metredir?
- Kare şeklinde bir yerde alan = kenar × kenar formülü geçerlidir.
- 225'i tam kare olarak yazmayı dene: 15 × 15 = 225, yani 15² = 225.
- O hâlde √225 = 15 olur.
- Halının bir kenarı 15 metredir.
M.8.1.3.1
Karekök sonucu negatif olamaz
√25'in cevabını '5 ya da -5' diye vermek çok yapılan bir hata. Oysa karekök sembolü (√), sonucu her zaman sıfır ya da pozitif olan tek bir sayı verir. √25 = 5'tir, -5 değil.
Karışıklık şuradan çıkıyor: (-5)² de 25 eder, doğru. Ama bu, √25'in cevabının -5 olabileceği anlamına gelmez; √ işlemi zaten pozitif kökü seçmek üzere tanımlanmıştır.
'x² = 25 denkleminin çözümleri nedir' sorusu ile '√25 kaçtır' sorusu farklı sorulardır. Birincisinin cevabı x = 5 ve x = -5, ikincisinin cevabı sadece 5'tir.
M.8.1.3.1
Tam kare olmayan sayılarda karekök hangi aralıkta
Her sayı tam kare değildir. 31 gibi bir sayının tam sayı bir karekökü yoktur ama yine de bir değeri vardır ve iki doğal sayı arasına sıkışır.
Bunu bulmak için, verilen sayıya en yakın küçük ve büyük tam kareleri ararsın. 31 için 25 (=5²) ve 36 (=6²) tam kareleri arasında kalıyor: 25 < 31 < 36. Karekök alma işlemi sıralamayı bozmaz, o yüzden 5 < √31 < 6 olur.
Hangisine daha yakın olduğunu anlamak için 31'in her iki tam kareye olan uzaklığına bakarsın: 31 - 25 = 6 ve 36 - 31 = 5. 31, 36'ya daha yakın olduğundan √31 de 6'ya daha yakındır.
M.8.1.3.2
Hangi iki sayı arasında
√52 hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır ve bu sayılardan hangisine daha yakındır?
- 52'ye en yakın tam kareleri bul: 49 = 7² ve 64 = 8².
- 49 < 52 < 64 olduğundan 7 < √52 < 8'dir.
- Uzaklıklara bak: 52 - 49 = 3 ve 64 - 52 = 12.
- 3, 12'den küçük olduğundan √52, 7'ye daha yakındır.
M.8.1.3.2
a√b biçiminde yazmak
Kök içindeki sayı büyükse, içinde tam kare çarpan arayarak ifadeyi sadeleştirebilirsin. Bu, kareköklü bir sayıyı a√b biçiminde, yani katsayı ile kök çarpımı şeklinde yazmaktır.
√72'yi ele alalım. 72'yi tam kare bir çarpanla yaz: 72 = 36 · 2. Çarpımın karekökü, köklerin çarpımına eşittir: √72 = √36 · √2 = 6√2.
Bu işlemin tersi de mümkündür: a√b biçimindeki bir ifadede katsayıyı kök içine almak istersen, katsayının karesini alıp kök içindeki sayıyla çarparsın: a√b = √(a²·b).
M.8.1.3.3
Kökü sadeleştirmek
√180 ifadesini a√b biçiminde, en sade hâliyle yazınız.
- 180'i tam kare bir çarpanla yazmayı dene: 180 = 36 · 5 (36 tam kare).
- √180 = √36 · √5 = 6√5.
- 5 içinde başka tam kare çarpan olmadığından bu en sade biçimdir.
M.8.1.3.3
Katsayıyı kök içine almak
4√5 ifadesini tek bir karekök içinde yazınız.
- Katsayıyı kök içine alırken önce onun karesini alırsın: 4² = 16.
- Sonra kök içindeki sayıyla çarparsın: 16 · 5 = 80.
- 4√5 = √80.
M.8.1.3.3
Katsayıyı içeri alırken kareyi unutma
4√5'i kök içine alırken 4 ile 5'i doğrudan çarpıp √20 yazmak sık yapılan bir hata. Doğrusu √20 değil, √80'dir.
Neden kare gerekiyor? Çünkü √80 = √(16 · 5) = √16 · √5 = 4√5 olması için kök içindeki sayı, katsayının karesi kadar büyümeli. Katsayıyı çarpan olarak değil, karesi olarak taşırsın.
Hızlı kontrol: sonucu bulduktan sonra tekrar dışarı çıkar. √20'yi sadeleştirirsen 2√5 çıkar, 4√5 değil — demek ki bir yerde hata var.
M.8.1.3.3
Kareköklerde çarpma ve bölme
İki kareköklü ifadeyi çarparken kök içlerini çarpıp tek kökte toplayabilirsin: √a · √b = √(a·b) (a, b negatif olmayan sayılar).
Bölme de aynı mantıkla işler: √a / √b = √(a/b) (b sıfırdan farklı ve negatif değil).
Payda kök içeriyorsa genelde payda kökten kurtarılır (rasyonelleştirme): pay ve payda aynı kökle çarpılır. Paydasında birden fazla terim varsa (a ± √b gibi) bu işlem bu seviyede yapılmaz.
M.8.1.3.4
Kareköklü çarpma
√6 · √24 işleminin sonucunu bulunuz.
- Kök içlerini çarp: 6 · 24 = 144.
- √6 · √24 = √144.
- 144 tam kare olduğundan √144 = 12'dir.
M.8.1.3.4
Paydayı kökten kurtarmak
10/√5 ifadesinin paydasını rasyonel hâle getiriniz.
- Payı ve paydayı √5 ile çarp: (10 · √5) / (√5 · √5) = 10√5 / 5.
- Sadeleştir: 10√5 / 5 = 2√5.
- Sonuç 2√5'tir, payda artık kök içermiyor.
M.8.1.3.4
Kareköklerde toplama ve çıkarma
Kareköklü ifadeleri toplarken ya da çıkarırken, tıpkı bilinmeyenli ifadelerdeki benzer terimler gibi düşünürsün: yalnızca kök içindeki sayı (radikand) aynıysa doğrudan toplanır ya da çıkarılır. 3√2 + 5√2 = 8√2 çünkü ikisinin de kökü aynı.
Kök içleri farklı görünse bile önce sadeleştirmeyi dene; sadeleşince aynı kök çıkabilir. √8 ile √18 farklı görünür ama √8 = 2√2 ve √18 = 3√2 olduğundan aslında toplanabilirler.
Sadeleştirmeden sonra da kökler hâlâ farklıysa, o ifade daha fazla toplanamaz; öylece bırakılır.
M.8.1.3.5
Benzer kökleri toplamak
√8 + √18 - √2 işleminin sonucunu bulunuz.
- Her terimi sadeleştir: √8 = 2√2, √18 = 3√2, √2 zaten sade.
- Yerine koy: 2√2 + 3√2 - √2.
- Katsayıları topla: 2 + 3 - 1 = 4.
- Sonuç 4√2'dir.
M.8.1.3.5
√a + √b, √(a+b) değildir
İki kareköklü ifadeyi toplarken kökleri birleştirip √a + √b = √(a+b) yazmak çok yaygın bir yanlış. Bu kural çarpmada geçerli değil, toplamada hiç geçerli değil.
Sayılarla dene: √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ama √(9+16) = √25 = 5. 7 ile 5 farklı sayılar; demek ki bu kısayol yanlış.
Toplama ve çıkarma yalnızca kök içleri (radikandlar) birbirinin AYNISI olduğunda kısayoldur — o zaman da köklerin toplanması değil, katsayıların toplanması söz konusudur.
M.8.1.3.5
Bir ifadeyi doğal sayı yapan çarpan
Kareköklü bir ifadeyi başka bir kareköklü ifadeyle çarpıp doğal sayı elde edebiliriz. Bunun için kök içindeki sayıyı tam kareye tamamlayacak bir çarpan ararız.
√18'i ele alalım. 18 = 2 · 3², yani içinde eksik olan asal çarpan 2'dir. √18'i √2 ile çarparsak: √18 · √2 = √36 = 6, tam sayı çıkar.
Tek çözüm bu değildir; √18'i kendisiyle çarpsak da (√18 · √18 = 18) ya da 2√2 gibi başka kareköklü ifadelerle çarpsak da (√18 · 2√2 = 2√36 = 12) sonuç yine doğal sayı olur. Önemli olan, çarpımın kök içinin tam kare çıkmasıdır.
M.8.1.3.6
Doğal sayı yapan çarpan bulma
√12 ifadesini hangi kareköklü ifadeyle çarparsak sonuç bir doğal sayı olur? Bir örnek veriniz.
- 12'yi asal çarpanlarına ayır: 12 = 2² · 3.
- Tam kare olması için eksik olan çarpan 3'tür, o yüzden √3 ile çarpmayı dene.
- √12 · √3 = √36 = 6, bu bir doğal sayıdır.
- Demek ki √3, √12'yi doğal sayı yapan çarpanlardan biridir.
M.8.1.3.6
Ondalık sayıların karekökü
Ondalık bir sayının karekökünü bulmak için, sayıyı önce kesir olarak yazmak işi kolaylaştırır. Payı ve paydası tam kare olan bir kesir elde edersen, karekökü ayrı ayrı alabilirsin: √(a/b) = √a / √b.
0,49 sayısını ele alalım. Bunu 49/100 kesri olarak yazarsın; hem 49 hem 100 tam karedir. √(49/100) = √49 / √100 = 7/10 = 0,7.
Pay ya da paydadan biri tam kare değilse bu kısayol işlemez; o durumda ondalık sayı kareköklü kalır.
M.8.1.3.7
Ondalık ifadenin karekökü
√1,44 değerini bulunuz.
- 1,44'ü kesir olarak yaz: 144/100.
- Hem 144 hem 100 tam kare: 144 = 12², 100 = 10².
- √(144/100) = 12/10 = 1,2.
- Sonuç 1,2'dir.
M.8.1.3.7
Gerçek sayılar: rasyonel ve irrasyonel
Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı (kesir) olarak yazılabilen sayılardır: tam sayılar, kesirler, sonlu ya da belli bir noktadan sonra kendini tekrar eden ondalık sayılar hep rasyoneldir.
İrrasyonel sayılar ise iki tam sayının oranı olarak yazılamaz; ondalık açılımları hem sonsuza gider hem de hiçbir düzende tekrarlanmaz. Tam kare olmayan bir sayının karekökü her zaman irrasyoneldir — 31 tam kare olmadığından √31 irrasyoneldir.
π sayısı da irrasyoneldir; ondalık açılımı hiç bitmez ve tekrar etmez. Yine de işlemlerde kolaylık olsun diye π yerine 3, 3,14 veya 22/7 gibi yaklaşık rasyonel değerler kullanılabilir. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimine gerçek sayılar denir.
M.8.1.3.8
Rasyonel mi, irrasyonel mi
√36, √50, 7/2 ve π sayılarından hangileri rasyoneldir, hangileri irrasyoneldir?
- √36 = 6'dır, tam sayı olduğundan rasyoneldir (36 tam kare).
- √50 tam kare olmayan bir sayının karekökü olduğundan irrasyoneldir.
- 7/2 zaten iki tam sayının oranı olarak yazılmış, rasyoneldir.
- π irrasyoneldir; iki tam sayının oranı olarak yazılamaz.
- Rasyonel olanlar: √36 ve 7/2. İrrasyonel olanlar: √50 ve π.
M.8.1.3.8
Aklında kalsın
Tam kare sayının karekökü bir doğal sayıdır; değilse karekök iki doğal sayı arasına düşer ve irrasyoneldir.
a√b ↔ √(a²b): dışa alırken tam kare çarpan ara, içe alırken katsayının KARESİNİ kök içine taşı.
Çarpma/bölme: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b).
Toplama/çıkarma: yalnızca kök içi (radikand) aynıysa katsayılar toplanır; √a + √b ASLA √(a+b) değildir.
Ondalık sayılarda: kesre çevir, payı ve paydası tam kareyse ayrı ayrı kök al.
Karekök sonucu hiçbir zaman negatif çıkmaz.