Eşitsizlikler
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu iki eski bilgi üzerine kuruluyor.
Birincisi denklem çözme: bir eşitliğin iki tarafına aynı sayıyı ekleyip çıkarabilir, iki tarafı aynı sayıyla çarpıp bölebilirsin; bilinmeyeni yalnız bırakana kadar bunu yaparsın. İkincisi sayı doğrusu: negatif ve pozitif tam sayıları sayı doğrusunda yerleştirebilmen, hangi sayının hangisinden büyük ya da küçük olduğunu doğru üzerinden görebilmen gerekir.
Eşitsizlikler, denklem çözmenin neredeyse aynısı — tek fark iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıp böldüğünde ne olacağı. Onu birazdan göreceksin.
Eşitsizlik sembolleri ne anlatır
Denklemde = işareti iki tarafın birbirine tam eşit olduğunu söyler ve genelde tek bir sayı bulmanı ister. Eşitsizlikte durum farklı: iki tarafın eşit OLMADIĞINI, birinin diğerinden büyük ya da küçük olduğunu söylersin.
Dört sembol var: > büyüktür, < küçüktür, ≥ büyük eşittir, ≤ küçük eşittir. Alttaki çizgi "ya da eşit" demek — ≥ ve ≤ sınır değeri de kabul eder, > ve < etmez.
x = 5 dersen tek bir sayı bulmuş olursun. x > 5 dersen 5'ten büyük SONSUZ sayıda sayı (5,1 de olur, 6 da, 1000 de) çözüm olur. Eşitsizliğin çözümü çoğu zaman tek sayı değil, bir aralıktır.
M.8.2.3.1
Günlük hayattan matematik cümlesine geçiş
Bir problemi eşitsizliğe çevirirken önce bilinmeyen niceliği bul ve ona bir harf ver (yaş, ağırlık, puan, süre — ne soruluyorsa). Sonra cümledeki karşılaştırma kelimesini yakala.
"En az" ve "en çok" sınırı İÇİNE alır: en az 10 → x ≥ 10, en çok 10 → x ≤ 10 (10 dahil).
"-den fazla / büyük" ve "-den az / küçük" sınırı DIŞARIDA bırakır: 10'dan fazla → x > 10, 10'dan az → x < 10 (10 dahil değil).
"Aşmamalı / geçmemeli" en çok ile aynı anlama gelir (≤); "aşmalı / geçmeli" ise -den fazla ile aynıdır (>).
Kelimeyi görüp ezbere sembol yapıştırma — cümleyi kendi kelimelerinle tekrar kur, sınırın dahil olup olmadığını kendine sor, sonra sembolü seç.
M.8.2.3.1
Asansör örneği
Bir asansörde aynı anda en fazla 6 kişi bulunabiliyor. Kişi sayısı x ile gösterildiğinde bu durumu eşitsizlik olarak yazınız.
- "En fazla 6" ifadesi, kişi sayısının 6'yı geçemeyeceğini ama 6'ya eşit olabileceğini söyler.
- Sınır (6) çözüme dahil, o yüzden ≤ kullanılır.
- x ≤ 6
M.8.2.3.1
Yarışma puanı örneği
Bir yarışmanın finaline çıkabilmek için en az 150 puan almak gerekiyor. Puan p ile gösterildiğinde bu durumu eşitsizlik olarak yazınız.
- "En az 150" ifadesi, puanın 150'nin altına düşemeyeceğini ama 150'ye eşit olabileceğini söyler.
- Sınır (150) çözüme dahil, o yüzden ≥ kullanılır.
- p ≥ 150
M.8.2.3.1
'En az' ile 'en çok'u ters kurma
"En az 5" görünce refleksle x ≤ 5 yazmak çok yaygın bir hata — kelimede "az" geçtiği için küçüklük sembolü seçilir. Oysa "en az 5" demek, 5'in ALTINA inemezsin demek; yani 5 ve üstü her değer uygundur: x ≥ 5.
Aynı karışıklık tersten de olur: "en çok 5" içinde "çok" kelimesi var diye x ≥ 5 yazılabilir, oysa 5'i AŞAMAZSIN demektir: x ≤ 5.
Kelimeye değil, cümlenin anlamına bak: "en az / en çok" bir sınır koyar ve o sınırı çözüme dahil eder. Kontrol yolu: sınır değerin kendisini cümleye koy, cümle hâlâ doğru mu? "En az 5 yaşında" derken 5 yaşındaki biri kabul ediliyor mu — evet, o zaman 5 dahildir (≥).
M.8.2.3.1
Sayı doğrusunda dolu nokta, boş nokta
Bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda gösterirken önce sınır noktasını işaretlersin, sonra çözüm bölgesini tararsın.
Sınır değer çözüme DAHİLSE (≥ ya da ≤ kullanıldıysa) o nokta DOLU (içi boyalı) çizilir. Sınır değer çözüme dahil DEĞİLSE (> ya da < kullanıldıysa) o nokta BOŞ (içi boş halka) çizilir.
Sonra ok yönünü belirlersin: büyük değerlere doğru gidiliyorsa doğru sağa, küçük değerlere doğru gidiliyorsa sola taranır. -3 ≤ t < 7 gibi iki sınırlı bir eşitsizlikte iki nokta işaretlenir (biri dolu, biri boş olabilir) ve aralarındaki bölge taranır, dışarısı boş bırakılır.
M.8.2.3.2
İki sınırlı bir eşitsizlik
-3 ≤ t < 7 eşitsizliğini sayı doğrusunda nasıl gösterirsin ve bu eşitsizliği sağlayan kaç tam sayı vardır?
- Sınırları incele: t, -3'e eşit olabilir (≤) ama 7'ye eşit olamaz (<).
- Sayı doğrusunda -3 noktası DOLU, 7 noktası BOŞ işaretlenir; ikisinin arası taranır.
- Tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 → toplam 10 tam sayı.
M.8.2.3.2
İki koşulu birleştirme
x ≥ -1 ve x < 4 eşitsizliklerini AYNI ANDA sağlayan kaç tam sayı vardır? Sayı doğrusunda gösterimini tarif ediniz.
- İki koşulu tek aralıkta birleştir: -1 ≤ x < 4
- Sayı doğrusunda -1 noktası DOLU, 4 noktası BOŞ işaretlenir; ikisinin arası taranır.
- Tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3 → toplam 5 tam sayı.
M.8.2.3.2
Dolu nokta mı, boş nokta mı
Alışkanlıkla her sınır noktasını aynı türde çizmek — ya hepsini dolu ya hepsini boş yapmak — en sık görülen hata. Oysa sembole bakman gerekir: ≥ ve ≤ (altında çizgi var, eşitliği de kapsar) → DOLU nokta. > ve < (çizgisiz, sadece büyük/küçük) → BOŞ nokta.
-3 ≤ t < 7 gibi bir eşitsizlikte iki sınır FARKLI sembollerle verilir, dolayısıyla bir uç dolu bir uç boş olur — ikisini de aynı yapmak yanlıştır. Hızlı kontrol: sınır sayının kendisini eşitsizlikte yerine koy, eşitsizlik hâlâ doğru mu? Doğruysa o nokta dolu, yanlışsa boştur.
M.8.2.3.2
Eşitsizliği çözerken hangi işlemler güvenli
Eşitsizlik çözmek, denklem çözmeye çok benzer: amaç bilinmeyeni yalnız bırakmak. İki tarafa da aynı sayıyı eklemek ya da iki taraftan da aynı sayıyı çıkarmak her zaman güvenlidir, yön hiç değişmez.
İki tarafı da aynı POZİTİF sayıyla çarpmak ya da bölmek de güvenlidir, yön yine değişmez.
Kazanımda "en çok iki işlem" deniyor — yani genelde önce bir toplama/çıkarma yaparak sabiti yalnız bırakır, sonra bir çarpma/bölme ile bilinmeyeni yalnız bırakırsın. Sıradan bir denklem çözer gibi ilerle; tek istisnayı birazdan göreceksin.
M.8.2.3.3
Pozitif katsayılı bir eşitsizlik
3x - 5 ≤ 10 eşitsizliğini çözünüz.
- Her iki tarafa 5 ekle: 3x ≤ 15
- Her iki tarafı 3'e böl (3 pozitif, yön değişmez): x ≤ 5
M.8.2.3.3
Negatifle çarpınca / bölünce ok yön değiştirir
Bu konunun bir numaralı hatası budur, o yüzden yavaş oku.
5 > 3 doğru bir eşitsizlik. Şimdi iki tarafı da -1 ile çarp: -5 ve -3 elde edersin. Sayı doğrusunda -5, -3'ün SOLUNDA yer alır — yani -5 < -3. Aynı işlem, 5 > 3'ü -5 < -3'e çevirdi: büyük olan taraf küçük oldu! İşte bu yüzden negatif bir sayıyla çarpıp bölerken eşitsizlik işaretini ÇEVİRMEK zorundasın — yoksa yanlış bir cümle söylemiş olursun.
Bunu -2x + 6 > 0 üzerinde gör: önce 6'yı karşı tarafa at, -2x > -6 olur. Şimdi iki tarafı -2'ye bölmen gerekiyor; bölen negatif olduğu için işaret yön değiştirir: x < 3.
Sayı doğrusu mantığı şu: x büyüdükçe -2x KÜÇÜLÜR, çünkü negatif bir sayıyla çarpılıyor. Yani x için sağda (büyük) olan bir değer, -2x için sağda değil soldadır. Doğru sağa doğru büyürken, negatifle çarpılan taraf ters yönde büyür — işaret bu yüzden döner.
Kural: eşitsizliğin iki tarafını da NEGATİF bir sayıyla çarparsan ya da negatif bir sayıya bölersen, > ↔ < ve ≥ ↔ ≤ olarak işareti çevir. Toplama ve çıkarmada bu kural yok, sadece negatifle çarpma/bölmede var.
M.8.2.3.3
Negatif katsayılı bir eşitsizlik
-3x - 1 ≥ 5 eşitsizliğini çözünüz.
- Her iki tarafa 1 ekle: -3x ≥ 6
- Her iki tarafı -3'e böl. Bölen NEGATİF olduğu için işaret yön değiştirir (≥ → ≤): x ≤ -2
M.8.2.3.3
Aklında kalsın
Cümle kurarken: "en az" → ≥, "en çok" → ≤ (sınır dahil). "-den fazla" → >, "-den az" → < (sınır dahil değil).
Sayı doğrusunda: ≥ ve ≤ dolu nokta, > ve < boş nokta.
Çözerken: toplama/çıkarma yönü hiç değiştirmez. Pozitif sayıyla çarpma/bölme yönü değiştirmez. NEGATİF sayıyla çarpma/bölme yönü MUTLAKA değiştirir — bu konunun en kritik kuralı.