Dönüşüm Geometrisi
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu koordinat sistemini rahat okuyabilmene dayanıyor.
Bir nokta A(x, y) biçiminde yazılır: önce x (yatay, sağa-sola), sonra y (dikey, yukarı-aşağı). Bir noktanın dönüşüm sonucu oluşan yeni hâline görüntü denir ve harfin sağ üstüne kesme işareti eklenerek gösterilir: A'.
Bölgelerin işaret kuralını da hatırla: I. bölgede (+, +), II. bölgede (-, +), III. bölgede (-, -), IV. bölgede (+, -). Öteleme ve yansımada asıl iş, bu işaretleri doğru değiştirmek.
Burada takılırsan sorun konunun kendisinde değil, koordinat okumada olur.
Öteleme nedir
Öteleme, bir şekildeki her noktayı aynı yönde ve aynı miktarda kaydırmaktır. Şekil döner ya da büyümez; sadece yer değiştirir. Bu yüzden şekil ile görüntüsü her zaman eştir (aynı boyutta, aynı biçimde).
Koordinatlarda öteleme toplama-çıkarma işidir: sağa kaydırma x'e eklenir, sola kaydırma x'ten çıkarılır. Yukarı kaydırma y'ye eklenir, aşağı kaydırma y'den çıkarılır.
Örneğin bir nokta 4 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenecekse, x'ine +4, y'sine -2 uygularsın. Yön kelimesini işarete çevirmek, bu konunun tamamı.
M.8.3.2.1
Sağa ve yukarı öteleme
A(2, 3) noktası 4 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenirse görüntüsü A' hangi noktadır?
- Sağa kaydırma x'e eklenir: 2 + 4 = 6
- Yukarı kaydırma y'ye eklenir: 3 + 3 = 6
- A'(6, 6) elde edilir.
M.8.3.2.1
Öteleme yönünü ters uygulamak
En sık yapılan hata, yön kelimesini yanlış işarete çevirmek. "5 birim sola öteleme" derken x'e +5 eklemek, ya da "3 birim aşağı öteleme" derken y'ye +3 eklemek gibi.
Kural sabit: sağ ve yukarı her zaman artı, sol ve aşağı her zaman eksi. Cümledeki yön kelimesini görür görmez önce işaretini belirle, sayıyı sonra ekle.
Bir de şunu unutma: iki eksende de öteleme aynı anda olabilir. "3 sola, 2 yukarı" dendiğinde x'ten 3 çıkarırsın ama y'ye 2 eklersin — ikisini karıştırıp ikisine de aynı işlemi uygulamak ayrı bir hata kaynağıdır.
M.8.3.2.1
Sola ve aşağı öteleme
B(-3, 5) noktası 5 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenirse görüntüsü B' hangi noktadır?
- Sola kaydırma x'ten çıkarılır: -3 - 5 = -8
- Aşağı kaydırma y'den çıkarılır: 5 - 2 = 3
- B'(-8, 3) elde edilir.
M.8.3.2.1
Yansıma nedir
Yansıma, bir şekli bir doğruya (simetri doğrusuna) göre ayna görüntüsü gibi karşıya taşımaktır. Şekil üzerindeki her nokta ile görüntüsü, simetri doğrusuna aynı uzaklıkta ve dik olarak karşı karşıyadır. Şekil ile görüntüsü yine eştir.
LGS'de en çok karşına çıkan iki simetri doğrusu x ekseni ve y ekseni.
x eksenine göre yansımada nokta yukarıdan aşağıya (ya da tersi) aynaya girer: x aynı kalır, y'nin işareti değişir.
y eksenine göre yansımada nokta soldan sağa (ya da tersi) aynaya girer: y aynı kalır, x'in işareti değişir.
İkisini birbirine karıştırmamak için şunu aklında tut: hangi eksene göre yansıtıyorsan, değişmeyen koordinat o eksenin adıdır — x eksenine göre yansımada x sabit kalır.
M.8.3.2.2
x eksenine göre yansıma
C(4, -2) noktasının x eksenine göre yansıması C' hangi noktadır?
- x ekseni sabit kalır: x = 4
- y'nin işareti değişir: -(-2) = 2
- C'(4, 2) elde edilir.
M.8.3.2.2
İşareti yanlış koordinata değiştirmek
x eksenine göre yansımada öğrencilerin çoğu x'in işaretini değiştirir, oysa değişmesi gereken y'dir. Bunun tersi de olur: y eksenine göre yansımada y'nin işaretini değiştirmek gibi.
Karışmayacak bir hatırlatma yolu var: eksenin adı hangi harfse, o harf SABİT kalır, diğer harfin işareti değişir. "x ekseni" deyince x sabit, y değişir. "y ekseni" deyince y sabit, x değişir.
Bir kontrol daha yapabilirsin: x eksenine göre yansımada nokta ile görüntüsü dikey doğrultuda (aynı x'te) durmalı; y eksenine göre yansımada ise yatay doğrultuda (aynı y'de) durmalı. C(4, -2) ve C'(4, 2)'nin x'i aynı — bu da x ekseni yansımasının doğru yapıldığını gösterir.
M.8.3.2.2
y eksenine göre yansıma
D(-5, 3) noktasının y eksenine göre yansıması D' hangi noktadır?
- y ekseni sabit kalır: y = 3
- x'in işareti değişir: -(-5) = 5
- D'(5, 3) elde edilir.
M.8.3.2.2
Simetri doğrusu üzerindeki nokta
Bir nokta zaten yansıtıldığı doğrunun üzerindeyse, görüntüsü kendisiyle aynı çıkar.
Örneğin K(7, 0) noktası x ekseni üzerinde durur (y'si zaten 0). Bu noktayı x eksenine göre yansıtırsan y'nin işareti değişir ama 0'ın işareti değişmesi bir şey değiştirmez: K' yine (7, 0) olur.
Aynı mantık y ekseni üzerindeki noktalar (x'i 0 olanlar) için de geçerli. Soruda "eksen üzerindeki nokta" görürsen, o dönüşümde yerinde kalacağını bil.
M.8.3.2.2
Ardışık öteleme ve yansımalar
Bir şekle arka arkaya iki dönüşüm uygulanabilir: iki öteleme, iki yansıma ya da bir öteleme ile bir yansıma. LGS'de en fazla iki ardışık dönüşüm sorulur.
Burada tek kural var: sıra önemlidir. Önce birinci dönüşümü uygularsın, çıkan görüntüyü ikinci dönüşüme sen sokarsın. İlk adımın sonucu, ikinci adımın başlangıcı olur.
Her adımı ayrı ayrı, kendi kuralıyla (öteleme için toplama-çıkarma, yansıma için işaret değiştirme) yaparsan karışmaz. İki adımı birleştirip tek seferde çözmeye çalışmak hata yapma ihtimalini artırır.
M.8.3.2.3
İki ardışık öteleme
E(1, 1) noktası önce 3 birim sağa ve 2 birim yukarı, sonra 2 birim sola ve 5 birim yukarı ötelenirse son görüntü E'' hangi noktadır?
- Birinci öteleme: (1+3, 1+2) = (4, 3) → bu E'
- İkinci öteleme, E' üzerinden yapılır: (4-2, 3+5) = (2, 8) → bu E''
- E''(2, 8) elde edilir.
M.8.3.2.3
İki ardışık yansıma
F(3, 5) noktası önce x eksenine, sonra çıkan görüntü y eksenine göre yansıtılırsa son görüntü F'' hangi noktadır?
- Birinci yansıma (x eksenine göre): x sabit, y'nin işareti değişir → (3, -5) → bu F'
- İkinci yansıma (y eksenine göre): y sabit, x'in işareti değişir → (-3, -5) → bu F''
- F''(-3, -5) elde edilir.
- İlginç bir sonuç: birbirine dik iki ekseni sırayla kullanınca, nokta orijin etrafında 180° döndürülmüş gibi karşıya geçer — çünkü hem x hem y'nin işareti değişmiş oldu.
M.8.3.2.3
180° dönmeyle karıştırma ve 90° dönmede sıra hatası
Önceki örnekte gördüğün gibi, birbirine dik iki eksene göre art arda yansıma, orijin etrafında 180° döndürmeyle AYNI sonucu verir (her iki koordinatın işareti değişir). Ama bu sadece x ekseni ile y ekseni birlikte kullanıldığında olur; aynı eksene iki kez yansıtırsan (mesela iki kez x eksenine) nokta başladığı yere geri döner, hiçbir şey değişmez.
90° döndürme sekizinci sınıf kazanımlarında yer almaz ama LGS'de çeldirici olarak görebilirsin, o yüzden tanı: saat yönünde 90° döndürmede (x, y) noktası (y, -x) olur; saatin tersi yönünde 90° döndürmede ise (-y, x) olur. Öğrenciler burada iki hata yapar — ya yönü karıştırıp yanlış formülü kullanır, ya da x ile y'nin yerini doğru değiştirip işareti unutur (örneğin (y, -x) yerine (y, x) yazar).
Bu iki formülü ezberlemek yerine küçük bir örnek üzerinde kontrol et: G(1, 0) noktası saat yönünde 90° dönünce (0, -1)'e gitmeli çünkü pozitif x ekseni aşağı yöne döner. Formülün sonucu bununla uyuşmuyorsa formülü yanlış hatırlıyorsundur.
M.8.3.2.3
Aklında kalsın
Öteleme: yön kelimesini işarete çevir. Sağ ve yukarı artı, sol ve aşağı eksi.
x eksenine göre yansıma: x sabit, y'nin işareti değişir.
y eksenine göre yansıma: y sabit, x'in işareti değişir.
Simetri doğrusu üzerindeki nokta, o dönüşümde yerinde kalır.
Ardışık dönüşümde sıra önemli: önce birinci adımı bitir, sonucu ikinci adıma sen sok.
x ekseni + y ekseni yansımasının arka arkaya yapılması, orijin etrafında 180° döndürmeyle aynı sonucu verir.