Doğrusal Denklemler
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu iki temel beceri üzerine kuruluyor: denklem çözme ve koordinat sisteminde nokta okuma.
Denklem çözerken kullandığın kural hep aynıdır: eşitliğin bozulmaması için iki tarafa da aynı işlemi uygularsın. 2x + 3 = 11 denkleminde önce her iki taraftan 3 çıkarırsın (2x = 8), sonra her iki tarafı 2'ye bölersin (x = 4). Bu terazi mantığını hatırlamıyorsan burada zorlanırsın.
Koordinat sisteminde de iki eksen vardır: yatay olan x ekseni, dikey olan y ekseni. İkisinin kesiştiği nokta orijin, yani (0, 0) noktasıdır. Bir noktayı (x, y) biçiminde, önce yatay sonra dikey konumunu yazarak gösteririz. Bu sırayı karıştırırsan noktayı yanlış yere koyarsın.
Denklemi çözmenin mantığı: terazi dengesi
Bir denklem, iki ifadenin birbirine eşit olduğunu söyler. Bunu bir terazi gibi düşünebilirsin: sol kefe ile sağ kefe dengededir. Bilinmeyeni bulmak için kefelerden birini bozmadan, ikisine de aynı işlemi yaparak x'i yalnız bırakırsın.
Bu sınıfta karşına katsayıları kesirli (rasyonel) denklemler de çıkar, örneğin x/3 + 2 = x/2 - 1 gibi. Kesirlerle uğraşmamak için önce denklemin her terimini, paydaların en küçük ortak katıyla çarpıp kesirlerden kurtulabilirsin. Önemli olan: çarptığın sayıyı denklemin HER teriminde kullanmak, yalnızca kesirli olanlarda değil.
Kesirlerden kurtulduktan sonra denklem, 7. sınıftan bildiğin tamsayılı denklemle aynı hâle gelir: bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sayıları öbür tarafa topla, sonra x'in katsayısına böl.
M.8.2.2.1
Kesirli katsayılı denklem çözme
3x/4 - 1 = x/2 + 2 denklemini çözünüz.
- Paydalar 4 ve 2; ortak katları 4. Denklemin HER terimini 4 ile çarp:
- 4 · (3x/4) - 4 · 1 = 4 · (x/2) + 4 · 2
- 3x - 4 = 2x + 8
- Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: 3x - 2x = 8 + 4
- x = 12
M.8.2.2.1
Paydaları eşitlerken bir terimi unutmak
En sık yapılan hata, denklemi kesirlerden kurtarırken ortak katı YALNIZCA kesirli terimlerle çarpmak, sayı terimini unutmak.
Örneğin 3x/4 - 1 = x/2 + 2 denkleminde 4 ile çarparken bazı öğrenciler 3x - 1 = 2x + 8 yazar; soldaki -1'i 4 ile çarpmayı atlar. Doğrusu -4'tür.
Kontrolü basit: bulduğun x değerini denklemin ORİJİNAL hâline (kesirli hâline) geri koy, iki taraf da eşit çıkmalı. x=12 için sol taraf 3·12/4 - 1 = 8, sağ taraf 12/2 + 2 = 8; eşit, demek ki doğru.
M.8.2.2.1
Koordinat sisteminde sıralı ikililer
Koordinat sistemi, birbirine dik iki sayı doğrusundan oluşur: yatay x ekseni ve dikey y ekseni. Kesiştikleri nokta orijindir, (0, 0) ile gösterilir.
Bir noktanın konumunu (x, y) sıralı ikilisiyle yazarız. Sıra önemlidir: önce x (yatayda kaç birim, sağa +, sola -), sonra y (dikeyde kaç birim, yukarı +, aşağı -). (3, -2) ile (-2, 3) tamamen farklı noktalardır.
Eksenler düzlemi dört bölgeye (çeyreğe) ayırır. Sağ üstte x ve y ikisi de pozitiftir, oradan saat yönünün tersine ilerledikçe işaretler sırayla değişir: sol üst (-,+), sol alt (-,-), sağ alt (+,-).
M.8.2.2.2
Noktanın bölgesini bulma
K(-3, 4) noktası koordinat düzleminin hangi bölgesindedir?
- x = -3, negatif; y = 4, pozitif.
- x negatif, y pozitif olan bölge sol üsttür; bu bölgeye 2. bölge denir.
- K noktası 2. bölgededir.
M.8.2.2.2
İki değişken birbirine nasıl bağlı: tablo ve denklem
Bazı büyüklükler birbirine bağlı değişir: biri değişince öteki de belli bir kurala göre değişir. Değerini kendin seçtiğin değişkene bağımsız değişken (genelde x), onun sonucunda ortaya çıkan değişkene bağımlı değişken (genelde y) denir.
Bu ilişkiyi bir tabloyla gösterebilirsin: x'in aldığı birkaç değere karşılık y'nin ne olduğunu yaz. Tablodaki her satır aslında bir sıralı ikilidir, (x, y) biçiminde de yazılabilir.
Tablodaki örüntüyü fark edersen aynı ilişkiyi bir denklemle de yazabilirsin. Denklem, tablodaki sonsuz sayıda olası satırı tek bir kuralda toplar.
M.8.2.2.3
Tablodan denklem kurma
Dikilen bir fidanın boyu dikildiğinde 40 cm'dir ve her ay 5 cm uzuyor. x geçen ay sayısını, y fidanın boyunu (cm) göstersin.
x=0 için y=40, x=1 için y=45, x=2 için y=50 olduğuna göre, y'yi x cinsinden veren denklemi yazınız ve 6 ay sonra fidanın boyunu bulunuz.
- Ay geçtikçe boy sabit 5 cm artıyor; bu artış x ile çarpılır: 5x.
- Başlangıç boyu 40 cm, hiç ay geçmeden de bu değer vardır, denkleme sabit olarak eklenir.
- y = 5x + 40
- x=6 için: y = 5·6 + 40 = 30 + 40 = 70
- 6 ay sonra fidan 70 cm boyundadır.
M.8.2.2.3
Doğrusal denklemin grafiğini çizme
y = ax + b biçimindeki bir denklemin grafiği her zaman bir DOĞRUDUR. Bir doğruyu çizmek için iki noktası yeter; en kolayı doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmaktır.
Doğrunun y eksenini kestiği nokta, x=0 konulduğunda bulunur: (0, b). Doğrunun x eksenini kestiği nokta ise y=0 konulduğunda bulunur: bulduğun x değeriyle (x, 0).
Bazı doğrular özeldir. b=0 ise doğru orijinden geçer. x her zaman aynı sayıyaysa (x=k) doğru y eksenine paralel, dikey bir doğrudur; y her zaman aynı sayıyaysa (y=k) doğru x eksenine paralel, yatay bir doğrudur.
M.8.2.2.4
Eksenleri kestiği noktaları bulma
2x + 3y = 12 doğrusunun x eksenini ve y eksenini kestiği noktaları bulunuz.
- y eksenini kestiği nokta için x=0 yaz: 2·0 + 3y = 12 → y = 4 → (0, 4)
- x eksenini kestiği nokta için y=0 yaz: 2x + 3·0 = 12 → x = 6 → (6, 0)
- Bu iki noktayı birleştirerek doğruyu çizebilirsin.
M.8.2.2.4
x ekseni kesişimi ile y ekseni kesişimini karıştırmak
"Doğrunun y eksenini kestiği nokta" ile "x eksenini kestiği nokta" isimleri kafa karıştırır çünkü isimdeki eksen, SIFIR OLAN değişkeni değil, ÜZERİNDE bulunduğun ekseni gösterir.
y eksenindeki bir nokta zaten y ekseninin üzerindedir, yani x koordinatı sıfırdır: (0, b). x eksenindeki bir nokta ise x ekseninin üzerindedir, yani y koordinatı sıfırdır: (a, 0).
Bunları ters kurup "y eksenini kestiği nokta" için y=0 yazan öğrenciler var. Kısa kontrol: adı geçen eksenin üzerindeki bir noktanın, KENDİ ekseninin doğrultusunda sıfır uzaklıkta olamayacağını, karşı eksene olan uzaklığının sıfır olduğunu hatırla.
M.8.2.2.4
Gerçek hayattan doğrusal ilişki kurmak
Bir problemi denkleme dönüştürürken iki şeyi ara: sabit bir başlangıç değeri var mı (bu, b olur) ve her adımda sabit bir miktar mı değişiyor (bu, x'in katsayısı olur).
Denklemi kurduktan sonra bir tablo yaparak birkaç değeri hesaplayabilir, sonra bu noktaları koordinat düzlemine işaretleyip grafiği çizebilirsin. Grafik sana neyin arttığını, neyin sabit kaldığını görsel olarak gösterir.
Yorumlarken şunlara bak: doğru y eksenini nerede kesiyor (başlangıç durumu), orijinden geçiyor mu (başlangıçta sıfır mı), bir eksene paralel mi (bir değişken hiç değişmiyor mu).
M.8.2.2.5
Su deposu problemi
Bir su deposunda başlangıçta 20 litre su vardır. Musluk açılıyor ve depoya her dakika 4 litre su ekleniyor. x dakika sayısını, y depodaki su miktarını (litre) göstersin.
Bu duruma ait denklemi yazınız ve 10 dakika sonra depoda kaç litre su olacağını bulunuz.
- Başlangıç değeri (x=0 iken) 20 litre, bu sabit terimdir.
- Her dakika 4 litre eklendiğinden x'in katsayısı 4'tür.
- y = 4x + 20
- x=10 için: y = 4·10 + 20 = 40 + 20 = 60
- 10 dakika sonra depoda 60 litre su vardır.
M.8.2.2.5
Doğrunun eğimi: ne kadar sağa, ne kadar yukarı
Bir doğru üzerinde bir noktadan başka bir noktaya gittiğini düşün. Ne kadar sağa (yatayda) gittiğine karşılık ne kadar yukarı ya da aşağı (dikeyde) gittiğine bakarsın. Bu iki hareketin oranı, doğrunun EĞİMİDİR. Doğru dik yokuş gibi hızlı yükseliyorsa eğim büyük, yatığa yakınsa eğim küçüktür.
Bunu sayıyla ifade etmek için iki nokta seçeriz: (x₁, y₁) ve (x₂, y₂). Dikey değişim y₂-y₁'dir, yatay değişim x₂-x₁'dir. Eğim = (y₂-y₁) / (x₂-x₁).
İşaret de anlamlıdır: doğru sağa doğru YÜKSELİYORSA eğim pozitiftir, sağa doğru İNİYORSA eğim negatiftir. Doğru x eksenine paralelse (hiç yükselip inmiyorsa) eğim sıfırdır. Büyüklük ise doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir; eğimi 3 olan doğru, eğimi 1/2 olan doğrudan daha diktir.
M.8.2.2.6
İki noktadan eğim hesaplama
A(1, 2) ve B(5, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
- Dikey değişim: y₂ - y₁ = 10 - 2 = 8
- Yatay değişim: x₂ - x₁ = 5 - 1 = 4
- Eğim = 8 / 4 = 2
- Bu doğrunun eğimi 2'dir; yani 1 birim sağa gidince 2 birim yukarı çıkılır.
M.8.2.2.6
x farkı ile y farkını ters yazmak
Eğim formülünde payda HER ZAMAN x farkıdır (yatay hareket), pay HER ZAMAN y farkıdır (dikey hareket). Bunu ters çevirip (x₂-x₁) / (y₂-y₁) yazmak çok sık görülen bir hata.
A(1, 2) ve B(5, 10) için doğru işlem 8/4 = 2 iken, pay ile paydayı ters yazan biri 4/8 = 1/2 bulur. İki sonuç da makul görünür, bu yüzden hata fark edilmez.
Ezberlemek yerine mantığını kullan: eğim, "sağa 1 gidince kaç birim yukarı çıkarsın" sorusunun cevabıdır. Yatay hareket her zaman paydadadır çünkü "bir birim sağa karşılık" diye ölçeriz.
M.8.2.2.6
Negatif eğimde işaret kaybı
Doğru sağa doğru inerken (y azalırken) eğim negatif çıkmalıdır. Farkları çıkarırken büyükten küçüğü çıkarma alışkanlığıyla mutlak değer alıp eğimi hep pozitif yazmak yaygın bir hata.
C(2, 8) ve D(6, 2) noktalarını ele alalım: y₂-y₁ = 2-8 = -6, x₂-x₁ = 6-2 = 4, eğim = -6/4 = -3/2. Bazı öğrenciler farkları 8-2=6 ve 6-2=4 alıp +3/2 yazar; işaret kaybolur.
Kontrol yolu: noktaları hangi sırayla aldığın önemli değildir ama İKİSİNİ DE AYNI SIRAYLA çıkarmalısın. Önce B'nin y'sinden A'nınkini çıkardıysan, x'te de B'nin x'inden A'nınkini çıkarmalısın; sırayı karıştırma.
M.8.2.2.6
Aklında kalsın
Kesirli denklemde önce HER terimi ortak katla çarp, sonra çöz.
Koordinatta sıra önemli: (x, y), önce yatay sonra dikey.
Tabloda örüntüyü bul, denklemi y = (değişim)·x + (başlangıç) biçiminde yaz.
Grafik çizerken en kolay yol: y eksenini (x=0) ve x eksenini (y=0) kestiği noktaları bulmak.
Eğim = dikey değişim / yatay değişim = (y₂-y₁)/(x₂-x₁); payda hep x farkı.
Eğim pozitifse doğru yükselir, negatifse alçalır; işareti kaybetme.