Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu 7. sınıfta gördüğün cebirsel ifadelerin üzerine kuruluyor. Bir harfin (x, y, a gibi) bilinmeyen bir sayının yerini tuttuğunu, sayı ile harfin yan yana yazılmasının (3x gibi) çarpma anlamına geldiğini biliyor olmalısın.
Bir de dağılma özelliğini hatırla: a(b+c) = ab + ac. Parantezin önündeki sayı ya da ifade, parantez içindeki HER terimle ayrı ayrı çarpılır, tek bir terimle değil.
Benzer terim kavramı da lazım olacak: aynı değişkeni aynı üsle taşıyan terimler birleştirilebilir (3x + 2x = 5x gibi), ama farklı üslüler birleştirilemez.
Bunlardan emin değilsen önce onlara dön, çünkü bu konudaki her adım bu ikisinin üstüne biniyor.
Terim, katsayı, değişken
Cebirsel bir ifade, + ve - işaretleriyle ayrılan parçalardan oluşur. Bu parçaların her birine terim denir.
3x² - 6y² + 2 ifadesinde üç terim var: 3x², -6y² ve 2. İşaretiyle birlikte okunur; ikinci terim -6y²'dir, 6y² değil.
Bir terimdeki harfe değişken denir, harfin önündeki sayıya katsayı denir. 3x²'de değişken x, katsayı 3'tür. Sabit terimin (2 gibi, değişkeni olmayan terimin) de kendi katsayısı vardır: o da kendisidir. Yani 2 terimi hem bir terimdir hem de kendi katsayısı 2'dir.
x+5, 3x, x², -6y², a²·b, 2a+2b gibi ifadelerin hepsi cebirsel ifadedir; bazısında tek terim var (3x), bazısında iki (x+5).
M.8.2.1.1
İfadenin değerini bulma
4x² - 3x + 7 cebirsel ifadesinde x = -2 için ifadenin değerini bulunuz.
- x yerine -2 yaz, sırayla hesapla.
- 4·(-2)² = 4·4 = 16
- -3·(-2) = 6
- Sabit terim: 7
- Toplam: 16 + 6 + 7 = 29
M.8.2.1.1
Sabit terimi unutma, üssü karıştırma
5x² - 3x + 8 ifadesinin kaç terimi olduğu sorulduğunda çoğu öğrenci 2 cevabını verir; sabit terim olan 8'i bir terim saymayı unutur. Oysa 8 de bir terimdir, ifadenin toplam 3 terimi vardır.
İkinci hata daha ciddi: 3x ile 3x² benzer terim SANILIR. Değildir. Biri x'in birinci kuvveti, öbürü ikinci kuvveti. 3x + 3x² asla 6x² ya da 6x³ olarak toplanamaz; iki ayrı terim olarak kalır: 3x² + 3x.
Kural basit: birleştirebilmen için hem değişken hem de üssü aynı olmalı. x ve x² farklı üsse sahip oldukları için farklı terimlerdir.
M.8.2.1.1
Cebirsel ifadelerin çarpımı
Bir terimi bir çok terimliyle çarparken dağılma özelliğini uygularsın: dıştaki terim, içerideki HER terimle ayrı ayrı çarpılır. y(3y-2) demek, y'yi hem 3y'yle hem de -2'yle çarpmak demektir: y·3y - y·2 = 3y² - 2y.
İki çok terimliyi çarparken de aynı mantık geçerli, sadece çarpım sayısı artıyor: birinci parantezdeki HER terim, ikinci parantezdeki HER terimle çarpılır. İki terimli çarpı iki terimli olunca 4 çarpım çıkar: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.
Çarpımdan sonra ortaya çıkan benzer terimler varsa (aynı değişken, aynı üs) onları topla; işte o zaman ifade en sade haline gelir. Değişken kendisiyle çarpılınca üsler toplanır: x·x = x².
M.8.2.1.2
Tek terimliyle çarpma
y(3y - 2) ifadesinin açılımını bulunuz.
- y'yi parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarp.
- y · 3y = 3y²
- y · (-2) = -2y
- Sonuç: 3y² - 2y
M.8.2.1.2
İki terimliyi iki terimliyle çarpma
(2x + 3)(5x - 1) ifadesinin açılımını bulunuz.
- Birinci parantezdeki her terimi, ikinci parantezdeki her terimle çarp (4 çarpım).
- 2x · 5x = 10x²
- 2x · (-1) = -2x
- 3 · 5x = 15x
- 3 · (-1) = -3
- Benzer terimleri topla: -2x + 15x = 13x
- Sonuç: 10x² + 13x - 3
M.8.2.1.2
Dağılırken bir çarpımı atlamak
(2x+3)(5x-1) çarpımında en sık görülen hata, sadece 'dıştaki' ve 'içteki' iki çarpımı yapıp aradakileri unutmaktır. Öğrenci 2x·5x = 10x² ve 3·(-1) = -3 çarpımlarını yapar, aradan 10x² - 3 cevabını çıkarır.
Oysa 2x·(-1) = -2x ve 3·5x = 15x çarpımları da yapılmalıydı; bunlar toplanınca 13x terimi ortaya çıkıyor. Doğru sonuç 10x² + 13x - 3'tür, ortadaki x terimi asla kaybolmamalı.
Bunu yakalamanın yolu: her parantezde kaç terim varsa, toplam çarpım sayısı ikisinin çarpımı kadar olmalı. İki terimli çarpı iki terimli ise mutlaka 4 çarpım yapmış olman gerekir.
M.8.2.1.2
Özdeşlik nereden geliyor
Bir kenarı (a+b) olan kareyi düşün. Bu kareyi a ve b uzunluklarında dört parçaya bölersen: a×a'lık bir kare, b×b'lik bir kare ve iki tane a×b'lik dikdörtgen çıkar. Toplam alan: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Bu bize ilk özdeşliği verir: (a+b)² = a² + 2ab + b². Aynı mantıkla çıkarma için: (a-b)² = a² - 2ab + b².
Üçüncü özdeşlik iki kare farkı: a² - b² = (a-b)(a+b). Bunu sağ taraftan dağılma özelliğiyle açarsan: a² + ab - ab - b² = a² - b² çıktığını görürsün; ortadaki iki terim birbirini götürüyor.
Bu üç özdeşlik LGS'de sık çıkar: (a±b)² = a² ± 2ab + b² ve a² - b² = (a-b)(a+b).
M.8.2.1.3
Tam kare özdeşliği uygulama
(x + 6)² ifadesinin açılımını özdeşlik kullanarak bulunuz.
- (a+b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğinde a = x, b = 6 yaz.
- x² + 2·x·6 + 6²
- = x² + 12x + 36
M.8.2.1.3
(a+b)² asla a²+b² değildir
(x+6)² ifadesini x² + 36 sanmak LGS'de en sık yapılan cebirsel ifade hatasıdır. Orta terim olan 12x tamamen kayboluyor, çünkü karenin açılımı iki değil üç terimli.
Bunu kontrol etmenin hızlı bir yolu var: x yerine kolay bir sayı, mesela 1 yaz. (1+6)² = 7² = 49 olmalı. Ama 1² + 36 = 37 çıkıyor, tutmuyor. Demek ki orta terim atlanmış.
Aynı hata (a-b)² için de olur, orada da öğrenciler a² - b² yazar (bu aslında farklı bir özdeşliğin sonucu, tam karenin değil). Doğrusu a² - 2ab + b²'dir; hem orta terim var hem de işareti eksi.
M.8.2.1.3
İki kare farkı özdeşliği
(x - 7)(x + 7) çarpımını özdeşlik kullanarak bulunuz.
- a² - b² = (a-b)(a+b) özdeşliğini tersten oku: a = x, b = 7.
- x² - 7²
- = x² - 49
M.8.2.1.3
İki kare farkında işaret hatası
(x-7)(x+7) çarpımını açarken bazı öğrenciler ortadaki iki terimi (−7x ve +7x) fark etmeden ikisini de kare alıp toplar, x² + 49 cevabını verir. Doğrusunda bu iki terim birbirini götürür, ortada hiçbir x terimi kalmaz: x² - 49.
Başka bir hata: hangi terimin önce, hangisinin sonra kare alınacağını karıştırıp b² - a² yazmak, yani 49 - x² demek. Bu, a²-b²'nin işaret değiştirilmiş hâlidir ve doğru değildir.
Kontrol için x=1 yaz: (1-7)(1+7) = (-6)(8) = -48. x²-49 = 1-49 = -48, tutuyor. 49-x² = 49-1 = 48 ise tutmuyor. Sıra önemli.
M.8.2.1.3
Çarpanlara ayırma: çarpımı geri açma
Çarpanlara ayırmak, çarpma işleminin tersidir: açılmış bir ifadeyi tekrar çarpım biçimine döndürürsün. Bu seviyede üç yöntem var.
Ortak çarpan parantezine alma: her terimde ortak olan sayı ve/veya değişkeni bulup dışarı çıkarırsın. 6x² + 9x'te her iki terim de 3x'e bölünür, o yüzden 3x(2x+3) yazılır.
İki kare farkını çarpanlara ayırma: a² - b² gördüğünde bunu doğrudan (a-b)(a+b) olarak yazarsın; özdeşliği tersten kullanmaktır.
Tam kare ifadeyi çarpanlara ayırma: a² ± 2ab + b² kalıbını tanıdığında bunu (a±b)² olarak yazarsın. Kalıbı tanımak için ilk ve son terimin tam kare olup olmadığına, orta terimin de 2·a·b'ye eşit olup olmadığına bakarsın.
M.8.2.1.4
Ortak çarpan parantezine alma
6x² + 9x ifadesini çarpanlarına ayırınız.
- 6 ile 9'un ortak böleni 3'tür. Her iki terimde de x var, en az ortak üs 1.
- Ortak çarpan: 3x
- 6x² ÷ 3x = 2x, 9x ÷ 3x = 3
- Sonuç: 3x(2x + 3)
M.8.2.1.4
İki kare farkını çarpanlarına ayırma
x² - 64 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
- 64, 8'in karesidir: 64 = 8².
- İfade a² - b² kalıbında: a = x, b = 8.
- a² - b² = (a-b)(a+b) özdeşliğini kullan:
- Sonuç: (x - 8)(x + 8)
M.8.2.1.4
Tam kare ifadeyi çarpanlarına ayırma
x² + 10x + 25 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
- İlk terim x²'nin karekökü x, son terim 25'in karekökü 5.
- Orta terimi kontrol et: 2·x·5 = 10x. İfadedeki orta terimle aynı, demek ki bu bir tam kare.
- Sonuç: (x + 5)²
M.8.2.1.4
Aklında kalsın
Terim: + veya - ile ayrılan parça. Katsayı: değişkenin önündeki sayı; sabit terim de kendi katsayısıdır. x ve x² benzer terim değildir, birleştirilemez.
Çarpma: her terim, öbür parantezdeki HER terimle çarpılır. İki terimli çarpı iki terimli = 4 çarpım, hiçbiri atlanmaz.
Özdeşlikler: (a+b)² = a²+2ab+b², (a-b)² = a²-2ab+b², a²-b² = (a-b)(a+b). Orta terimi asla atlama, işaretini asla karıştırma.
Çarpanlara ayırma, çarpmanın tersidir: önce ortak çarpan var mı diye bak, sonra iki kare farkı mı yoksa tam kare mi olduğunu kontrol et.
Her özdeşlik hatasını yakalamanın hızlı yolu: değişkene basit bir sayı (mesela 1) yazıp iki tarafı da hesapla, eşit çıkmıyorsa hata var demektir.