Çarpanlar ve Katlar
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu 6 ve 7. sınıfta öğrendiğin iki şeyin üzerine kuruluyor.
Birincisi bölünebilme: bir sayının 2, 3, 5 ile kalansız bölünüp bölünmediğini kestirebilmelisin. İkincisi asal sayı: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayı. 2, 3, 5, 7, 11, 13 asaldır; 1 asal değildir.
Burada takılırsan sorun genelde konunun kendisinde değil, bu ikisinde olur. Emin değilsen önce onlara dön.
Çarpan ne demek
Bir sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları denir.
12'yi 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 kalansız böler. Demek ki 12'nin altı tane pozitif çarpanı var. Çarpanlar hep çift çift gelir: 1 ile 12, 2 ile 6, 3 ile 4. Çünkü bir çarpanı bulduğunda, onun eşini de bulmuş olursun.
Bu eşleşme sayesinde çarpanları saymak için hepsini tek tek denemene gerek kalmaz.
M.8.1.1.1
Asal çarpanlara ayırma
Her sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazım tektir. Yani 12 için 2 · 2 · 3 dışında başka bir asal çarpım bulamazsın.
Bunu üslü biçimde yazarız: 12 = 2² · 3.
Asal çarpanlara ayırmak, bu konudaki her sorunun ilk adımıdır. Bölen sayısı da, EBOB da, EKOK da bu yazımdan okunur.
M.8.1.1.1
Bölen sayısını bulma
48 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
- 48'i asal çarpanlarına ayır: 48 = 2⁴ · 3¹
- Üsleri birer artır: (4+1) ve (1+1)
- Çarp: 5 · 2 = 10
- 48'in 10 tane pozitif böleni vardır.
M.8.1.1.1
Üsleri artırmayı unutma
En sık yapılan hata, üsleri doğrudan çarpmak: 4 · 1 = 4 demek. Sınavda bu sonuç mutlaka şıklarda bulunur.
Neden birer artırıyoruz? Çünkü 2'nin üssü bölenlerde 0, 1, 2, 3 veya 4 olabilir — beş seçenek. 3'ün üssü 0 veya 1 olabilir — iki seçenek. Sıfırıncı kuvveti unutursan bir seçenek eksik sayarsın.
Formül bu yüzden (a+1)(b+1) biçimindedir.
M.8.1.1.1
Daha büyük bir sayıyla
360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız ve kaç pozitif böleni olduğunu bulunuz.
- 360'ı sırayla asallara böl: 360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45 = 2³ · 45
- 45 = 3 · 15 = 3 · 3 · 5 olduğundan 45 = 3² · 5
- Birleştir: 360 = 2³ · 3² · 5¹
- Üsleri birer artırıp çarp: (3+1)(2+1)(1+1) = 4 · 3 · 2 = 24
- 360'ın 24 tane pozitif böleni vardır.
M.8.1.1.1
EBOB ve EKOK
İki sayının ortak çarpanlarının en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.
İkisini de asal çarpanlara ayırdıktan sonra okursun. EBOB'da yalnızca ortak asalları alırsın ve üslerin küçüğünü seçersin. EKOK'ta bütün asalları alırsın ve üslerin büyüğünü seçersin.
Kısaca: EBOB ortak olanı ve küçüğü, EKOK hepsini ve büyüğü ister.
M.8.1.1.2
EBOB ve EKOK hesabı
48 ile 72 sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.
- İkisini de ayır: 48 = 2⁴ · 3¹ ve 72 = 2³ · 3²
- EBOB: ortak asallar 2 ve 3, üslerin küçüğü alınır → 2³ · 3¹ = 24
- EKOK: bütün asallar alınır, üslerin büyüğü seçilir → 2⁴ · 3² = 144
- EBOB = 24, EKOK = 144
M.8.1.1.2
EBOB ile EKOK'u ters çevirme
EBOB'da büyük üssü, EKOK'ta küçük üssü almak çok yaygın bir karışıklık. Sonuçlar birbirinin yerine geçtiğinde ikisi de şıklarda bulunur, yani hata fark edilmez.
Kontrol yolu var: EBOB her zaman iki sayıdan da küçük ya da eşit, EKOK her zaman ikisinden de büyük ya da eşittir. 48 ve 72 için 24 küçük, 144 büyük — tutuyor.
Bir de şu her zaman doğrudur: EBOB · EKOK = iki sayının çarpımı. Burada 24 · 144 = 3456 ve 48 · 72 = 3456.
M.8.1.1.2
Problem olarak sorulunca
Uzunlukları 48 cm ve 72 cm olan iki çubuk, hiç artmayacak biçimde eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Parçalar en fazla kaç cm olabilir ve toplam kaç parça elde edilir?
- "Hiç artmayacak" ifadesi, parça uzunluğunun iki sayıyı da kalansız bölmesi gerektiğini söyler.
- "En fazla" ifadesi, bunların en büyüğünü istediğimizi söyler. İkisi birlikte EBOB demektir.
- EBOB(48, 72) = 24, yani parçalar en fazla 24 cm olur.
- Parça sayısı: 48 ÷ 24 = 2 ve 72 ÷ 24 = 3, toplam 5 parça.
M.8.1.1.2
Problemde hangisi sorulmuş, nasıl anlarsın
Problem metnindeki iki kalıp neredeyse her zaman aynı şeye işaret eder.
"Hiç artmadan", "eşit parçalara", "en fazla", "en büyük" görüyorsan EBOB sorulmuştur.
"Aynı anda", "en az kaç", "tekrar birlikte", "en küçük" görüyorsan EKOK sorulmuştur.
M.8.1.1.2
Aralarında asal olmak
İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal denir. Yani EBOB'ları 1'dir.
Sayıların kendisinin asal olması gerekmez. 15 ve 28'in ikisi de asal değildir ama aralarında asaldır, çünkü 15 = 3 · 5 ve 28 = 2² · 7 yazımlarında ortak asal yoktur.
Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
M.8.1.1.3
Aralarında asal mı
15 ile 28 sayıları aralarında asal mıdır?
- İkisini de asal çarpanlarına ayır: 15 = 3 · 5 ve 28 = 2² · 7
- Ortak asal çarpan yok.
- O hâlde EBOB(15, 28) = 1 olur ve bu iki sayı aralarında asaldır.
M.8.1.1.3
Aklında kalsın
Her soru asal çarpanlara ayırmayla başlar.
Bölen sayısı: üsleri birer artır, çarp.
EBOB: ortak asallar, üslerin küçüğü.
EKOK: bütün asallar, üslerin büyüğü.
Aralarında asal: EBOB 1 ise evet.
Kontrol için: EBOB · EKOK, iki sayının çarpımına eşit olmalı.