Basit Olayların Olma Olasılığı
Bunları biliyor olman gerekiyor
Bu konu, alt sınıflarda öğrendiğin iki şeyi bir arada kullanır: kesirler ve oran.
Bir kesir, bir bütünün kaç eşit parçadan kaçının alındığını gösterir: 3/8 demek, bütünü 8 eşit parçaya bölüp 3 parçasını almak demektir. Kesri sadeleştirmeyi de bilmelisin: 4/8 ile 1/2 aynı miktarı gösterir, sadece 4/8'i 4'e bölerek sadeleştirdik.
Yüzde de bir orandır, sadece paydası hep 100 kabul edilir. 1/2 = %50, 1/4 = %25 demektir.
Olasılık konusunda sürekli kesir kuracaksın, bu yüzden bunlarda takılıyorsan önce onlara dön.
Olası durum ne demek
Bir olayla ilgili olabilecek bütün sonuçlara olası durumlar denir.
Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi top olsun. Torbadan bir top çekme olayını düşün. Çekebileceğin her top ayrı bir olası durumdur — torbada kaç top varsa olası durum sayısı da odur. Burada 3 + 5 = 8 top var, demek ki bu olayın olası durum sayısı 8.
Dikkat: hangi topu çektiğin önemli değil, sadece kaç FARKLI sonucun mümkün olduğunu sayıyoruz. Bir zar attığında olası durumlar 1, 2, 3, 4, 5, 6'dır — yani 6 tane. Bir madeni para attığında olası durumlar yazı ve tura'dır — yani 2 tane.
M.8.5.1.1
Olası durumları sayma
Bir kutuda 4 sarı, 6 yeşil, 2 turuncu bilye var. Kutudan bir bilye çekme olayının olası durum sayısı kaçtır?
- Olası durum sayısı, kutudaki bütün bilyelerin toplamıdır — hangi renk olduğu şimdilik önemli değil, sadece kaç farklı bilyenin çekilebileceğini sayıyoruz.
- 4 + 6 + 2 = 12
- Bu olayın olası durum sayısı 12'dir.
M.8.5.1.1
Renk sayısını olası durum sanmak
Çok yapılan bir hata: 'kutuda 3 renk var, o hâlde olası durum sayısı 3'tür' demek.
Bu yanlış. Olası durum sayısı, kutudaki bilyelerin TOPLAM sayısıdır, kaç FARKLI renk olduğu değil. 4 sarı, 6 yeşil, 2 turuncu bilyesi olan kutuda 3 renk var ama olası durum sayısı 12'dir — çünkü her bilye ayrı bir olası sonuçtur, aynı renkten olsalar bile.
Bir olayın olası durum sayısını sayarken hep şunu sor: kaç FARKLI KATEGORİ var değil, toplamda kaç TANE var.
M.8.5.1.1
Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olaylar
Bazen bir olayın olma şansını hesap yapmadan, sadece karşılaştırarak anlayabilirsin.
Bir okulda öğretmen sayısı 40, öğrenci sayısı 600 olsun. Listeden rastgele seçilen bir kişinin öğrenci çıkma olasılığı, öğretmen çıkma olasılığından DAHA FAZLADIR — çünkü öğrenci sayısı çok daha kalabalık, hesap yapmadan da bunu görebilirsin.
Bir sınıfta 15 kız, 15 erkek öğrenci varsa, rastgele seçilen birinin kız çıkma olasılığı ile erkek çıkma olasılığı EŞİTTİR — çünkü sayıları eşit.
Bu karşılaştırmayı yaparken tek baktığın şey, her durumun kaç tane olduğu. Sayı arttıkça olasılık artar, sayı azaldıkça olasılık azalır.
M.8.5.1.2
Hangisi daha olası
Bir torbada 2 sarı, 10 mavi, 3 kırmızı top var. Torbadan çekilen topun sarı olması ile kırmızı olması, hangisi daha olasıdır? Sayıları karşılaştırarak cevapla.
- Karşılaştırma için sadece sarı ve kırmızı top sayılarına bakıyoruz, toplamı hesaplamaya bile gerek yok.
- Sarı top: 2 tane. Kırmızı top: 3 tane.
- 3 > 2 olduğundan, kırmızı gelme olasılığı sarı gelme olasılığından daha fazladır.
M.8.5.1.2
Eşit şanslı olaylarda olasılık: 1/n
Bir olayın bütün sonuçları eşit şansa sahipse, buna eşit şanslı olay denir. Zar atmak eşit şanslıdır — her yüzün gelme şansı aynıdır. Para atmak da eşit şanslıdır — yazı ile tura eşit şansa sahiptir.
Eşit şanslı bir olayda olası durum sayısı n ise, her bir sonucun gelme olasılığı 1/n'dir. Zarda 6 yüz var, her birinin gelme olasılığı 1/6'dır. Parada 2 yüz var, her birinin gelme olasılığı 1/2'dir.
Her olay eşit şanslı değildir. 3 kırmızı, 1 mavi, 1 yeşil toplu bir torbadan top çekmek eşit şanslı DEĞİLDİR, çünkü topların sayıları farklı. Eşit şanslı olması için her sonuçtan aynı sayıda bulunması gerekir.
M.8.5.1.3
Zarda tek bir sayı
Hilesiz bir zar atılıyor. Zarın 5 gelme olasılığı kaçtır?
- Zar eşit şanslı bir olaydır, her yüzün gelme şansı aynıdır.
- Olası durum sayısı n = 6 (zarın 6 yüzü var).
- Her bir sonucun olasılığı 1/n formülüyle bulunur: 1/6.
- Zarın 5 gelme olasılığı 1/6'dır.
M.8.5.1.3
Her olayı eşit şanslı sanmak
1/n formülünü öğrenince, akla gelen her olaya uygulamak isteyebilirsin. Ama bu formül SADECE eşit şanslı olaylarda geçerlidir.
Örnek: bir çantada 3 kırmızı, 1 mavi top var. 'İki renk var, o hâlde mavi gelme olasılığı 1/2' demek yanlıştır — çünkü kırmızı ve mavi topların sayıları eşit değil, bu olay eşit şanslı değildir. Doğrusu 1/4'tür (4 toptan 1'i mavi).
1/n formülünü kullanmadan önce her zaman sor: bu olayın bütün sonuçları gerçekten eşit sayıda mı? Eşit değilse, doğrudan istenen durum sayısını toplam duruma bölmen gerekir.
M.8.5.1.3
Olasılık 0 ile 1 arasındadır
Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasında bir sayıdır (0 ve 1 dâhil).
Olasılığı 0 olan olaya imkânsız olay denir — hiç gerçekleşmez. Bir zarda 7 gelmesi imkânsızdır, çünkü zarda 7 yoktur.
Olasılığı 1 olan olaya kesin olay denir — her zaman gerçekleşir. Bir zarda 1 ile 6 arasında bir sayı gelmesi kesindir.
Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir. Zarda 3 gelme olasılığı 1/6 ise, 3 gelmeme olasılığı 5/6'dır — çünkü 1/6 + 5/6 = 1.
M.8.5.1.4
İmkânsız ve kesin olay
Hilesiz bir zar atılıyor. (a) Zarın 8 gelme olasılığı kaçtır? (b) Zarın 1 ile 6 arasında bir sayı gelme olasılığı kaçtır?
- (a) Zarda 8 yazan bir yüz yoktur, bu yüzden istenen durum sayısı 0'dır. Olasılık = 0/6 = 0. Bu bir imkânsız olaydır.
- (b) Zarın her yüzü 1 ile 6 arasındadır, bu yüzden istenen durum sayısı 6, toplam durum sayısı da 6'dır. Olasılık = 6/6 = 1. Bu bir kesin olaydır.
M.8.5.1.4
Her zaman kontrol et
Bulduğun her olasılık sonucunu şu iki kuralla kontrol etme alışkanlığı edin:
Birincisi: olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dâhil). 1'den büyük ya da negatif bir sonuç bulduysan hesabında hata var demektir.
İkincisi: bir olayla ilgili bütün olası sonuçların olasılıkları toplamı her zaman 1'dir. Zarda her sayının gelme olasılığı 1/6'dır ve 6 tane sayı olduğu için 6 × 1/6 = 1 eder. Bu toplam 1 çıkmıyorsa, bir yerde eksik ya da fazla saymışsındır.
M.8.5.1.4
Basit olayın olasılığını hesaplamak
Bir olayın olasılığını hesaplarken şu soruyu sor: istediğim durum sayısı kaç, bütün durum sayısı kaç?
Olasılık = istenen durum sayısı / bütün durum sayısı
Örneğin torbada 3 kırmızı, 5 mavi top varsa ve kırmızı top çekme olasılığını istiyorsan: istenen durum sayısı 3 (kırmızı toplar), bütün durum sayısı 8 (toplam top). Olasılık = 3/8.
Bu formül eşit şanslı olsun olmasın her basit olayda çalışır — çünkü her topun eşit şansla çekildiğini zaten varsayıyoruz, sadece hangi renkten kaç tane olduğunu sayıyoruz.
M.8.5.1.5
Torbadan top çekme olasılığı
Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi top var. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
- İstenen durum sayısı: kırmızı top sayısı = 3
- Bütün durum sayısı: toplam top sayısı = 3 + 5 = 8
- Olasılık = istenen / bütün = 3/8
M.8.5.1.5
Paydaya yalnız istenmeyeni yazmak
Sık yapılan hata: paydaya toplam top sayısı yerine, istenmeyen (kırmızı olmayan) top sayısını yazmak.
3 kırmızı, 5 mavi toplu torbada kırmızı gelme olasılığını 3/5 diye hesaplamak yanlıştır. Payda HER ZAMAN bütün durum sayısıdır, yani torbadaki bütün toplardır: 3 + 5 = 8. Doğru sonuç 3/8'dir.
5 sayısı burada sadece 'mavi olan' anlamına gelir, 'bütün olası durumlar' anlamına gelmez. Payda kurarken her zaman 'toplamda kaç tane var' diye sor, 'istemediğim kaç tane var' diye sorma.
M.8.5.1.5
İadeli mi iadesiz mi — payda değişebilir
Bir torbadan art arda iki top çekiliyor. Eğer ilk çekilen top TEKRAR torbaya konuyorsa (iadeli çekiliş), ikinci çekimde payda hiç değişmez, çünkü torba yine baştaki hâliyle aynıdır.
Ama ilk top torbaya KONMUYORSA (iadesiz çekiliş), ikinci çekimde hem payda hem de o renkteki top sayısı bir azalır — çünkü torbada artık bir top daha eksiktir.
Bu ayrımı atlamak çok sık yapılan bir hatadır: iadesiz bir çekilişte ikinci çekim için hâlâ ilk çekimdeki toplam sayıyı kullanmak. Sınavda 'çekilen top geri konulmuyor' ifadesini gördüğünde, paydanın bir eksildiğini unutma.
M.8.5.1.5
İadesiz çekimde ikinci top
Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi top var. Torbadan bir top çekilip GERİ KONMADAN, ikinci bir top daha çekiliyor. İlk çekilen top mavi ise, ikinci çekimde kırmızı top gelme olasılığı kaçtır?
- İlk çekimde bir mavi top alındı ve torbaya geri konmadı.
- Torbada kalan toplar: 3 kırmızı, 5 - 1 = 4 mavi. Yeni toplam: 3 + 4 = 7.
- İkinci çekimde istenen durum sayısı (kırmızı) = 3, bütün durum sayısı = 7.
- Olasılık = 3/7.
M.8.5.1.5
Aklında kalsın
Olası durum sayısı: bir olayla ilgili olabilecek bütün farklı sonuçların sayısı — kaç FARKLI kategori değil, toplamda kaç TANE olduğu.
Olasılık = istenen durum sayısı / bütün durum sayısı.
Eşit şanslı bir olayda her sonucun olasılığı 1/n'dir (n = olası durum sayısı). Bu formül sadece bütün sonuçlar eşit sayıdaysa geçerlidir.
Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır; imkânsız olay 0, kesin olay 1'dir. Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir.
Paydaya her zaman TOPLAM durum sayısını yaz, istenmeyeni değil. İadesiz çekimlerde ikinci çekim için payda bir azalır.